Machten van 10

Inhoud

Machten van 10 uitrekenen
Getallen omzetten naar een macht van 10
Machten van 10 omzetten
Samengevat

Het wordt snel lastig om heel grote of heel kleine getallen te lezen of te schrijven. De tijd die het licht nodig heeft om $1 \si{ m}$ ver te reizen, bijvoorbeeld, bedraagt $0{,}00000000334 \si{ s}$ . We kunnen dit getal veel korter schrijven door de komma na de eerste 3 te zetten en nadien terug te vermenigvuldigen met $\orange{10^{-9}}$ :

0{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}

Machten van 10 zullen ons toelaten om heel kleine getallen en heel grote getallen op een korte, leesbare manier te noteren.

Het is voor deze les belangrijk dat je de volgende rekenregels kent en begrijpt ( $a, b, c \in \mathbb{R}$ ):

a^{-b} = \frac{1}{a^{b}} \quad \text{waarbij }a \ne 0

a^b \cdot a^c = a^{b+c}

Extra uitleg vind je in de les over rekenen met machten.

Machten van 10 uitrekenen

Hoe komen we aan die $\orange{10^{-9}}$ bij het voorbeeld van $0{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}$ ? Voor we tonen waar die vandaan komt, bespreken we eerst hoe we een macht van 10 ook al weer uitrekenen. Enkele voorbeelden:

\begin{aligned} 2{,}6211\cdot \orange{10^2} = 2{,}6211 \cdot \orange{100} = 262{,}11\\ -0{,}0075\cdot \orange{10^3} = -0{,}0075\cdot \orange{1000} = -7{,}5\\ 6{,}3\cdot \orange{10^{-3}} = 6{,}3 \cdot \orange{0{,}001} = 0{,}0063\\ 405{,}9\cdot \orange{10^{-2}} = 405{,}9 \cdot \orange{0{,}01} = 4{,}059\\ 51\cdot \orange{10^{3}} = 51 \cdot \orange{1000} = 51\ 000\\ \end{aligned}

Je ziet dat vermenigvuldigen met een macht van 10 ervoor zorgt dat de komma verschuift. De komma verschuift naar links bij negatieve machten en ze verschuift naar rechts bij positieve machten.

Vermenigvuldigingen met $10^{\orange{2}}$ , bijvoorbeeld, verschuift de komma 2 plaatsen naar rechts. Vermenigvuldigingen met $10^{\orange{-3}}$ , verschuift de komma 3 plaatsen naar links.

Getallen omzetten naar een macht van 10

Nu zullen we zien hoe we aan die $\orange{10^{-9}}$ kwamen bij het voorbeeld van $0{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}$ . We willen de komma van $0{,}00000000334$ met 9 plaatsen naar rechts verschuiven tot na de eerste 3. Dat zouden we kunnen doen door te vermenigvuldigen met $10^9$ . Maar we willen dat onze uitkomst nog steeds gelijk is aan $0{,}00000000334$ . Daarom moeten we ook terug delen door $10^9$ .

\begin{aligned} 0{,}00000000334 &= 0{,}00000000334 \cdot \frac{\blue{10^9}}{\orange{10^9}} \\ &= 0{,}00000000334 \cdot \blue{10^9} \cdot \frac{1}{\orange{10^9}} \\ &= \underbrace{0,00000000334 \cdot \blue{10^{9}}}_{= 3{,}34} \cdot \orange{10^{-9}} \\ &= 3{,}34 \cdot \orange{10^{-9}} \end{aligned}

Het delen door $10^9$ komt neer op een vermenigvuldigen met $10^{-9}$ . We kunnen dus ook zeggen dat we vermenigvuldigen met $10^9$ om de komma 9 plaatsen naar rechts te verschuiven en vervolgens vermenigvuldigen met $10^{-9}$ om alles gelijk te houden.

Een ander voorbeeld is dat we een heel groot getal korter willen schrijven. De afstand tussen de zon en de aarde, bijvoorbeeld, bedraagt ongeveer $149\ 600\ 000\ 000\ \si{m}$ . Dit kunnen we korter schrijven door de komma 11 plaatsen naar links te schuiven tot net na de 1. Dat zouden we kunnen doen door te vermenigvuldigen met $10^{-11}$ . Maar we willen natuurlijk dat onze uitkomst nog steeds gelijk is aan $149\ 600\ 000\ 000$ . Daarom moeten we ook terug delen door $10^{-11}$ . Dat is echter hetzelfde als vermenigvuldigen met $10^{11}$ .

\begin{aligned} 149\ 600\ 000\ 000 &= \underbrace{149\ 600\ 000\ 000 \cdot \blue{10^{-11}}}_{= 1{,}496} \cdot \orange{10^{11}} \\ &= 1{,}496 \cdot \orange{10^{11}} \\ \end{aligned}

Merk wel op dat nu het aantal beduidende cijfers is veranderd van 12 naar 4. Je kan het juiste aantal beduidende cijfers verkrijgen door de benaderingsregels toe te passen.

Machten van 10 omzetten

Soms zullen we ook machten van 10 moeten omzetten naar andere machten van 10. We willen onze $3{,}34 \cdot 10^{-9}$ bijvoorbeeld omzetten naar $\orange{\ldots\text{iets}\ldots} \cdot \blue{10^{-11}}$ . Om dat te doen, zullen we de $3{,}34 \cdot 10^{-9}$ vermenigvuldigen met $10^{-11}$ om de juiste macht van 10 te hebben en vervolgens vermenigvuldigen met $10^{11}$ om het getal gelijk te houden.

\begin{aligned} 3{,}34 \cdot 10^{-9} &= 3{,}34 \cdot \underbrace{10^{-9} \cdot \orange{10^{11}}}_{= 10^{2}} \cdot \blue{10^{-11}} \\ &= \underbrace{3{,}34 \cdot 10^{2}}_{= 334} \cdot \blue{10^{-11}} \\ &= 334 \cdot \blue{10^{-11}} \\ \end{aligned}

Samengevat

Een getal omzetten naar macht van 10

Als je de komma $N$ plaatsen naar rechts wilt opschuiven: Vermenigvuldig met $10^{N}$ om de komma op te schuiven en met $10^{-N}$ om het getal gelijk te houden.
Als je de komma $N$ plaatsen naar links wilt opschuiven: Vermenigvuldig met $10^{-N}$ om de komma op te schuiven en met $10^N$ om het getal gelijk te houden.

Een macht van 10 omzetten naar een andere macht van 10

Als je $a \cdot 10^b$ wilt omzetten naar $\ldots\text{iets}\ldots \cdot \blue{10^c}$ (met $a, b, c \in \mathbb{R}$ ):

Vermenigvuldig $a \cdot 10^b$ met $10^{c}$ om de juiste macht van 10 te hebben en met $10^{-c}$ om alles gelijk te houden aan $a \cdot 10^b$ .
Combineer vervolgens de $a \cdot 10^{b} \cdot \orange{10^{-c}}$ tot één getal en laat de $\cdot \blue{10^{c}}$ erachter staan.