Machten van 10

Bron: https://hoezithet.nu/lessen/fysica/grootheden_eenheden/machten_van_10/

Het wordt snel lastig om heel grote of heel kleine getallen te lezen of te schrijven. De tijd die het licht nodig heeft om 1 m1 \si{ m} ver te reizen, bijvoorbeeld, bedraagt 0,00000000334 s0{,}00000000334 \si{ s}. We kunnen dit getal veel korter schrijven door de komma na de eerste 3 te zetten en nadien terug te vermenigvuldigen met 109\orange{10^{-9}}:

0,00000000334=3,341090{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}

Machten van 10 zullen ons toelaten om heel kleine getallen en heel grote getallen op een korte, leesbare manier te noteren.

Het is voor deze les belangrijk dat je de volgende rekenregels kent en begrijpt (a,b,cRa, b, c \in \mathbb{R}):

ab=1abwaarbij a0a^{-b} = \frac{1}{a^{b}} \quad \text{waarbij }a \ne 0
abac=ab+ca^b \cdot a^c = a^{b+c}

Extra uitleg vind je in de les over rekenen met machten.

Machten van 10 uitrekenen

Hoe komen we aan die 109\orange{10^{-9}} bij het voorbeeld van 0,00000000334=3,341090{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}? Voor we tonen waar die vandaan komt, bespreken we eerst hoe we een macht van 10 ook al weer uitrekenen. Enkele voorbeelden:

2,6211102=2,6211100=262,110,0075103=0,00751000=7,56,3103=6,30,001=0,0063405,9102=405,90,01=4,05951103=511000=51 000\begin{aligned} 2{,}6211\cdot \orange{10^2} = 2{,}6211 \cdot \orange{100} = 262{,}11\\ -0{,}0075\cdot \orange{10^3} = -0{,}0075\cdot \orange{1000} = -7{,}5\\ 6{,}3\cdot \orange{10^{-3}} = 6{,}3 \cdot \orange{0{,}001} = 0{,}0063\\ 405{,}9\cdot \orange{10^{-2}} = 405{,}9 \cdot \orange{0{,}01} = 4{,}059\\ 51\cdot \orange{10^{3}} = 51 \cdot \orange{1000} = 51\ 000\\ \end{aligned}

Je ziet dat vermenigvuldigen met een macht van 10 ervoor zorgt dat de komma verschuift. De komma verschuift naar links bij negatieve machten en ze verschuift naar rechts bij positieve machten.

Vermenigvuldigingen met 10210^{\orange{2}}, bijvoorbeeld, verschuift de komma 2 plaatsen naar rechts. Vermenigvuldigingen met 10310^{\orange{-3}}, verschuift de komma 3 plaatsen naar links.

Getallen omzetten naar een macht van 10

Nu zullen we zien hoe we aan die 109\orange{10^{-9}} kwamen bij het voorbeeld van 0,00000000334=3,341090{,}00000000334 = 3{,}34\cdot \orange{10^{-9}}. We willen de komma van 0,000000003340{,}00000000334 met 9 plaatsen naar rechts verschuiven tot na de eerste 3. Dat zouden we kunnen doen door te vermenigvuldigen met 10910^9. Maar we willen dat onze uitkomst nog steeds gelijk is aan 0,000000003340{,}00000000334. Daarom moeten we ook terug delen door 10910^9.

0,00000000334=0,00000000334109109=0,000000003341091109=0,00000000334109=3,34109=3,34109\begin{aligned} 0{,}00000000334 &= 0{,}00000000334 \cdot \frac{\blue{10^9}}{\orange{10^9}} \\ &= 0{,}00000000334 \cdot \blue{10^9} \cdot \frac{1}{\orange{10^9}} \\ &= \underbrace{0,00000000334 \cdot \blue{10^{9}}}_{= 3{,}34} \cdot \orange{10^{-9}} \\ &= 3{,}34 \cdot \orange{10^{-9}} \end{aligned}

Het delen door 10910^9 komt neer op een vermenigvuldigen met 10910^{-9}. We kunnen dus ook zeggen dat we vermenigvuldigen met 10910^9 om de komma 9 plaatsen naar rechts te verschuiven en vervolgens vermenigvuldigen met 10910^{-9} om alles gelijk te houden.

Een ander voorbeeld is dat we een heel groot getal korter willen schrijven. De afstand tussen de zon en de aarde, bijvoorbeeld, bedraagt ongeveer 149 600 000 000 m149\ 600\ 000\ 000\ \si{m}. Dit kunnen we korter schrijven door de komma 11 plaatsen naar links te schuiven tot net na de 1. Dat zouden we kunnen doen door te vermenigvuldigen met 101110^{-11}. Maar we willen natuurlijk dat onze uitkomst nog steeds gelijk is aan 149 600 000 000149\ 600\ 000\ 000. Daarom moeten we ook terug delen door 101110^{-11}. Dat is echter hetzelfde als vermenigvuldigen met 101110^{11}.

149 600 000 000=149 600 000 0001011=1,4961011=1,4961011\begin{aligned} 149\ 600\ 000\ 000 &= \underbrace{149\ 600\ 000\ 000 \cdot \blue{10^{-11}}}_{= 1{,}496} \cdot \orange{10^{11}} \\ &= 1{,}496 \cdot \orange{10^{11}} \\ \end{aligned}

Merk wel op dat nu het aantal beduidende cijfers is veranderd van 12 naar 4. Je kan het juiste aantal beduidende cijfers verkrijgen door de benaderingsregels toe te passen.

Machten van 10 omzetten

Soms zullen we ook machten van 10 moeten omzetten naar andere machten van 10. We willen onze 3,341093{,}34 \cdot 10^{-9} bijvoorbeeld omzetten naar iets1011\orange{\ldots\text{iets}\ldots} \cdot \blue{10^{-11}}. Om dat te doen, zullen we de 3,341093{,}34 \cdot 10^{-9} vermenigvuldigen met 101110^{-11} om de juiste macht van 10 te hebben en vervolgens vermenigvuldigen met 101110^{11} om het getal gelijk te houden.

3,34109=3,341091011=1021011=3,34102=3341011=3341011\begin{aligned} 3{,}34 \cdot 10^{-9} &= 3{,}34 \cdot \underbrace{10^{-9} \cdot \orange{10^{11}}}_{= 10^{2}} \cdot \blue{10^{-11}} \\ &= \underbrace{3{,}34 \cdot 10^{2}}_{= 334} \cdot \blue{10^{-11}} \\ &= 334 \cdot \blue{10^{-11}} \\ \end{aligned}

Samengevat

Een getal omzetten naar macht van 10

  • Als je de komma NN plaatsen naar rechts wilt opschuiven: Vermenigvuldig met 10N10^{N} om de komma op te schuiven en met 10N10^{-N} om het getal gelijk te houden.
  • Als je de komma NN plaatsen naar links wilt opschuiven: Vermenigvuldig met 10N10^{-N} om de komma op te schuiven en met 10N10^N om het getal gelijk te houden.

Een macht van 10 omzetten naar een andere macht van 10

Als je a10ba \cdot 10^b wilt omzetten naar iets10c\ldots\text{iets}\ldots \cdot \blue{10^c} (met a,b,cRa, b, c \in \mathbb{R}):

  • Vermenigvuldig a10ba \cdot 10^b met 10c10^{c} om de juiste macht van 10 te hebben en met 10c10^{-c} om alles gelijk te houden aan a10ba \cdot 10^b.
  • Combineer vervolgens de a10b10ca \cdot 10^{b} \cdot \orange{10^{-c}} tot één getal en laat de 10c\cdot \blue{10^{c}} erachter staan.

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.