Hoe oplossen?

Bron: https://hoezithet.nu/lessen/wiskunde/1g_vgl/oplossen/

Een vergelijking van de eerste graad in één onbekende xx is een vergelijking waar er maar één onbekende is (genaamd xx) en waarbij de hoogste macht van die xx gelijk is aan 11. Bijvoorbeeld de vergelijking

3x2+x=156x+9x3-3x - 2 + x = 15 - 6x + 9x -3

is een eerstegraadsvergelijking omdat elke xx een macht 11 heeft. De volgende vergelijking is geen eerstegraadsvergelijking

29x2+6x=156x2 - 9x^\red{2} + 6x = 15 - 6x

omdat de hoogste macht van xx hier 2\red{2} is. De volgende vergelijking is wel een eerstegraadsvergelijking, maar heeft meerdere onbekenden, namelijk xx, yy en zz:

4z+2x9=3+5yx-4z + 2x -9 = 3 + 5y - x

In deze les zien we hoe we eerstegraadsvergelijkingen in één onbekende (xx) kunnen oplossen in drie stappen. Tijdens deze stappen zullen we de vergelijking omvormen. De drie stappen zijn:

  1. Schoonmaakwerk: vereenvoudig het linker- en rechterlid zodat er langs beide kanten iets staat van de vorm ax+ba x + b (met a,bRa, b \in \mathbb{R});
  2. Alle xx-en naar links: vorm de vergelijking om zodat enkel het linkerlid nog xx-en bevat;
  3. Alle getallen naar rechts: vorm de vergelijking om zodat alle getallen in het rechterlid staan.

Schoonmaakwerk

Stel bijvoorbeeld dat we de volgende vergelijking willen oplossen:

3x2+x=156x+9x3-3x - 2 + x = 15 - 6x + 9x -3

De eerste stap in het oplossen van een eerstegraadsvergelijking is de vergelijking opkuisen tot zowel de linker- als rechterkant de vorm ax+bax + b heeft. Dit doen we door links en rechts de termen met hetzelfde lettergedeelte samen te nemen.

3x2+x=156x+9x32x2=3x+12\begin{aligned} \red{-3x} - 2 \red{+ x} &= \blue{15} \green{- 6x} \green{+ 9x} \blue{-3}\\ \Leftrightarrow \red{-2x} - 2 &= \green{3x} + \blue{12} \end{aligned}

We krijgen nu een vergelijking van de vorm

alinksx+blinks=arechtsx+brechts\red{a_{links}\cdot x} + b_{links} = \green{a_{rechts}\cdot x} + \blue{b_{rechts}}

Waarbij

alinks=2blinks=2arechts=3brechts=12\begin{aligned} \red{a_{links}} &= \red{-2}\\ b_{links} &= -2\\ \green{a_{rechts}} &= \green{3} \\ \blue{b_{rechts}} &= \blue{12} \end{aligned}

De volgende stap is om alle termen met een xx als lettergedeelte naar de linkerkant te brengen. We vormen de vergelijking om door de

arechtsx\green{a_{rechts}x}

uit het rechterlid van de vergelijking af te trekken. Dan zal de arechtsx\green{a_{rechts}x} uit het rechterlid wegvallen en hebben we enkel in het linkerlid nog een xx. In ons voorbeeld is de arechtsx\green{a_{rechts}x} uit het rechterlid 3x\green{3x}.

2x2=3x+122x23x=3x+123x2x23x=3x3x+125x2=12\begin{aligned} \Leftrightarrow -2x - 2 &= 3x + 12\\ \Leftrightarrow -2x - 2 \green{- 3x} &= 3x + 12 \green{- 3x}\\ \Leftrightarrow -2x - 2 \green{- 3x} &= \cancel{3x\green{- 3x}} + 12\\ \Leftrightarrow -5x - 2 &= 12\\ \end{aligned}

We zien dat de 3x3x inderdaad is verdwenen uit het rechterlid. We krijgen een vergelijking van de vorm

ax+blinks=brechtsa\cdot x + b_{links} = b_{rechts}

met enkel nog in het linkerlid een xx. Hierbij is

a=5blinks=2brechts=12\begin{aligned} a &= -5\\ b_{links} &= -2\\ b_{rechts} &= 12 \end{aligned}

Alle getallen naar rechts

In de laatste stap brengen we de getallen die in het linkerlid nog overblijven naar het rechterlid. Dat doen we ook in twee stappen.

  1. Trek links en rechts de blinksb_{links} af zodat deze verdwijnt uit het linkerlid;
  2. Deel het linker- en rechterlid door de aa zodat aa verdwijnt uit het linkerlid.

In de eerste stap trekken we blinksb_{links} (=2= -2) af van het linker- en rechterlid:

5x2=125x2(2)=12(2)5x2(2)=12+25x=14\begin{aligned} \Leftrightarrow -5x - 2 &= 12\\ \Leftrightarrow -5x - 2 \orange{- (-2)} &= 12 \orange{- (-2)}\\ \Leftrightarrow -5x \cancel{- 2\orange{- (-2)}} &= 12 \orange{+ 2}\\ \Leftrightarrow -5x &= 14\\ \end{aligned}

We hebben nu een vergelijking van de vorm

ax=ba\cdot x = b

met nog maar één getal in het rechterlid. Hierbij is

a=5b=14\begin{aligned} a &= -5 \\ b &= 14 \end{aligned}

Nu moeten we enkel nog de aa links weg krijgen. Dat kunnen we doen door het linker- en rechterlid te delen door aa (=5= -5).

5x=145x5=14555x=145x=145\begin{aligned} \Leftrightarrow -5x &= 14\\ \Leftrightarrow \frac{-5x}{\orange{-5}} &= \frac{14}{\orange{-5}}\\ \Leftrightarrow \cancel{\frac{-5}{\orange{-5}}}\cdot x &= \frac{14}{\orange{-5}}\\ \Leftrightarrow x &= -\frac{14}{5}\\ \end{aligned}

Et voilà! We hebben xx gevonden! De oplossingsverzameling van de vergelijking is V={145}V = \{-\frac{14}{5}\}.

Samengevat

Oplossen van een vergelijking in de eerste graad met één onbekende

Om een vergelijking op te lossen van de eerste graad met één onbekende, volgen we drie stappen:

  1. Kuis de vergelijking op tot iets van de vorm

    alinksx+blinks=arechtsx+brechtsa_{links}\cdot x + b_{links} = a_{rechts}\cdot x + b_{rechts}
  2. Breng alle xx-en naar de linkerkant door van de vergelijking arechtsxa_{rechts}\cdot x af te trekken. Je krijgt nu iets van de vorm

ax+blinks=brechtsa\cdot x + b_{links} = b_{rechts}
  1. Breng alle getallen naar de rechterkant door van de vergelijking eerst blinksb_{links} af te trekken zodat je iets van de vorm

    ax=ba\cdot x = b

    krijgt, en vervolgens te delen door aa. De oplossing is

x=bax = \frac{b}{a}

met aR0a \in \mathbb{R}_0, bRb \in \mathbb{R}.

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.