Hoe oplossen?
Een vergelijking van de eerste graad in één onbekende $x$ is een vergelijking waar er maar één onbekende is (genaamd $x$) en waarbij de hoogste macht van die $x$ gelijk is aan $1$. Bijvoorbeeld de vergelijking
$$-3x - 2 + x = 15 - 6x + 9x -3$$
is een eerstegraadsvergelijking omdat elke $x$ een macht $1$ heeft. De volgende vergelijking is geen eerstegraadsvergelijking
$$2 - 9x^\red{2} + 6x = 15 - 6x$$
omdat de hoogste macht van $x$ hier $\red{2}$ is. De volgende vergelijking is wel een eerstegraadsvergelijking, maar heeft meerdere onbekenden, namelijk $x$, $y$ en $z$:
$$-4z + 2x -9 = 3 + 5y - x$$
In deze les zien we hoe we eerstegraadsvergelijkingen in één onbekende ($x$) kunnen oplossen in drie stappen. Tijdens deze stappen zullen we de vergelijking omvormen. De drie stappen zijn:
- Schoonmaakwerk: vereenvoudig het linker- en rechterlid zodat er langs beide kanten iets staat van de vorm $a x + b$ (met $a, b \in \mathbb{R}$) ;
- Alle $x$-en naar links: vorm de vergelijking om zodat enkel het linkerlid nog $x$-en bevat;
- Alle getallen naar rechts: vorm de vergelijking om zodat alle getallen in het rechterlid staan.
Schoonmaakwerk
Stel bijvoorbeeld dat we de volgende vergelijking willen oplossen:
$$-3x - 2 + x = 15 - 6x + 9x -3$$
De eerste stap in het oplossen van een eerstegraadsvergelijking is de vergelijking opkuisen tot zowel de linker- als rechterkant de vorm $ax + b$ heeft. Dit doen we door links en rechts de termen met hetzelfde lettergedeelte samen te nemen.
\begin{split}
\red{-3x} - 2 \red{+ x} &= \blue{15}
\green{- 6x}
\green{+ 9x} \blue{-3}\\
\Leftrightarrow \red{-2x} - 2 &= \green{3x} + \blue{12}
\end{split}
We krijgen nu een vergelijking van de vorm $$\red{a_{links}\cdot x} + b_{links} = \green{a_{rechts}\cdot x} + \blue{b_{rechts}}$$
Waarbij
\begin{split}
\red{a_{links}} &= \red{-2}\\
b_{links} &= -2\\
\green{a_{rechts}} &= \green{3} \\
\blue{b_{rechts}} &= \blue{12}
\end{split}
Alle $x$-en naar links
De volgende stap is om alle termen met een $x$ als lettergedeelte naar de linkerkant te brengen. We vormen de vergelijking om door de $\green{a_{rechts}x}$ uit het rechterlid van de vergelijking af te trekken. Dan zal de $\green{a_{rechts}x}$ uit het rechterlid wegvallen en hebben we enkel in het linkerlid nog een $x$. In ons voorbeeld is de $\green{a_{rechts}x}$ uit het rechterlid $\green{3x}$.
\begin{split}
\Leftrightarrow -2x - 2 &= 3x + 12\\
\Leftrightarrow -2x - 2 \green{- 3x} &= 3x + 12 \green{- 3x}\\
\Leftrightarrow \udouble{-2x} - 2 \udouble{\green{- 3x}} &= \cancelto{0}{3x\green{- 3x}} + 12\\
\Leftrightarrow \udouble{-5x} - 2 &= 12\\
\end{split}
We zien dat de $3x$ inderdaad is verdwenen uit het rechterlid. We krijgen een vergelijking van de vorm
$$a\cdot x + b_{links} = b_{rechts}$$
met enkel nog in het linkerlid een $x$. Hierbij is
\begin{split}
a &= -5\\
b_{links} &= -2\\
b_{rechts} &= 12
\end{split}
Alle getallen naar rechts
In de laatste stap brengen we de getallen die in het linkerlid nog overblijven naar het rechterlid. Dat doen we ook in twee stappen.
- Trek links en rechts de $b_{links}$ af zodat deze verdwijnt uit het linkerlid;
- Deel het linker- en rechterlid door de $a$ zodat $a$ verdwijnt uit het linkerlid.
In de eerste stap trekken we $b_{links}$ ($= -2$)
af van het linker- en rechterlid:
\begin{split}
\Leftrightarrow -5x - 2 &= 12\\
\Leftrightarrow -5x - 2 \orange{- (-2)} &= 12 \orange{- (-2)}\\
\Leftrightarrow -5x \cancelto{0}{- 2\orange{- (-2)}} &= \udash{12 \orange{+ 2}}\\
\Leftrightarrow -5x &= \udash{14}\\
\end{split}
We hebben nu een vergelijking van de vorm
$$a\cdot x = b$$
met nog maar één getal in het rechterlid. Hierbij is
\begin{split}
a &= -5 \\
b &= 14
\end{split}
Nu moeten we enkel nog de $a$ links weg krijgen. Dat kunnen we doen door het linker- en rechterlid te delen door $a$ ($= -5$) .
\begin{split}
\Leftrightarrow -5x &= 14\\
\Leftrightarrow \frac{-5x}{\orange{-5}} &= \frac{14}{\orange{-5}}\\
\Leftrightarrow \cancelto{1}{\frac{-5}{\orange{-5}}}\cdot x &= \frac{14}{\orange{-5}}\\
\Leftrightarrow x &= -\frac{14}{5}\\
\end{split}
Et voilà! We hebben $x$ gevonden! De oplossingsverzameling van de vergelijking is $V = \{-\frac{14}{5}\}$.
Samengevat
NIEUW! Vragen en reacties 🙋
Heb je een vraag over deze les? Of heb je een foutje opgemerkt? Laat het ons hieronder weten!
TIP: Je kan anoniem reageren door het vakje "Mijn naam niet tonen" aan te vinken.