Voor we een veelterm beginnen gebruiken, zorgen we er best voor dat we hem zo
kort mogelijk schrijven. Dat bespaart ons schrijfwerk achteraf en zorgt ervoor
dat we eenvoudiger gelijkenissen tussen veeltermen kunnen ontdekken. Het
vereenvoudigen van een veelterm doe je zo:
Werk de haakjes uit in elke eenterm;
Vereenvoudig alle eentermen;
Herleid door de gelijksoortige eentermen bij elkaar op te tellen.
In deze les leggen we elk van die stappen wat verder uit.
Soms staat een factor van een term in een veelterm tussen haakjes. Voor we een
veelterm gaan vereenvoudigen, werken we eerst alle haakjes uit.
De uitdrukking die tussen haakjes staat, kan zelf een eenterm of een veelterm
zijn. Bijvoorbeeld:
In de veelterm
−ab2+3(b3c2)
staat er een eenterm tussen haakjes.
In de veelterm
−5(x3+2x2)+3x2
staat er een veelterm tussen haakjes.
Wanneer de uitdrukking tussen haakjes een eenterm is, mag je de haakjes
gewoon weglaten. Dat mag omdat de vermenigvuldiging in R
associatief is en we ervan uitgaan dat alle variabelen reële (∈R) of rationale (∈Q) getallen zijn.
Bijvoorbeeld:
Vb. 1:
−ab2+3⋅(b3c2)=−ab2+3⋅b3c2
Vb. 2:
6⋅(x3y3)+5y2=6⋅x3y3+5y2
Vb. 3:
−2⋅(st2)+(25t3u2)−9=−2⋅st2+25t3u2−9
Let wel op wanneer er een minteken tussen haakjes staat. Dat minteken breng
je naar voor in de term en combineer je vooraan met het toestandsteken dat er
al stond:
Vb. 1:
−p3(−5q2r)−5q+3(−p2r3)=5p3q2r−5q−3p2r3
Vb. 2:
−x2y+3(−xy2)=−x2y−3xy2
Vb. 3:
y3+5y2−(−9y)=y3+5y2+9y
Wanneer de uitdrukking tussen haakjes een veelterm is, probeer je eerst die
veelterm apart te vereenvoudigen. Wanneer die niet vereenvoudigbaar meer is,
pas je de distributieve eigenschap toe.
Vanaf er geen haakjes meer zijn in de termen van de veelterm, gaan we alle
eentermen vereenvoudigen. Vergeet daarbij niet om de factoren van de
eenterm te rangschikken. De coëfficiënt zetten we voorop en de variabelen
rangschikken we alfabetisch. Door in deze stap de factoren van de eentermen
al meteen te rangschikken, zullen we in de volgende stap heel eenvoudig de
gelijksoortige eentermen kunnen vinden.
Als je niet meer goed weet hoe je een eenterm vereenvoudigt, lees je best
onze les over het vereenvoudigen van eentermen
eens na. Enkele voorbeelden:
Vb. 1:
−2yx2⋅3x+4y2=−6x3y+4y2
Vb. 2:
2⋅5q3−p⋅p2+4=10q3−p3+4
Vb. 3:
zyx−23xy3x+3z3z=xyz−32x2y3+3z4
Herleid door de gelijksoortige eentermen op te tellen
Wanneer alle eentermen in een veelterm vereenvoudigd zijn, gaan we alle
gelijksoortige eentermen bij elkaar optellen. Dit noemen we ook wel het
herleiden van de veelterm. Om de gelijksoortige eentermen bij elkaar te
kunnen optellen, moeten we natuurlijk eerst op zoek naar waar er allemaal
gelijksoortige eentermen zijn in de veelterm. In de vorige stap hebben we de factoren van de eentermen al
gerangschikt. Daardoor zal het nu eenvoudiger zijn om de gelijksoortige
eentermen te vinden.
Als je niet meer goed weet wat we bedoelen met "gelijksoortige eentermen"
lees dan zeker onze introductieles over
eentermen eens na.
Hieronder hebben we per veelterm de gelijksoortige eentermen aangeduid in
dezelfde kleur:
Vb. 1:
−3xy2+5x3+9xy2
Vb. 2:
−2qr+p2qr3−6p+5qr+3p
Vb. 3:
54a2b−2b+54a2+54b−a2b
Het is een goeie gewoonte om bij het aanduiden van gelijksoortige eentermen
ook altijd het plus- of minteken mee aan te duiden. Zo voorkomen we dat
we bv. plots een optelling gaan doen waar we eigenlijk een aftrekking hadden
moeten doen.
Eens je de gelijksoortige eentermen hebt aangeduid, moet je de gelijksoortige
eentermen optellen bij elkaar. Dat doe je door de coëfficiënten op te
tellen en het lettergedeelte te laten staan.
Als je niet meer goed weet wat we bedoelen met "coëfficiënten" en
"lettergedeelte", lees dan zeker onze introductieles over
eentermen eens na.
We werken de voorbeelden van hierboven verder uit:
We maken hier eigenlijk gebruik van de distributieve eigenschap in R
die zegt dat de vermenigvuldiging distributief is over de optelling in
R.
Distributieve eigenschap
Gelijksoortige eentermen optellen
(2+3)a=2a+3a
2a+3a=(2+3)a=5a
Termen rangschikken
Eens je de eentermen hebt vereenvoudigd en de gelijksoortige eentermen hebt
opgeteld, is de veelterm vereenvoudigd. 🙌 Om de veelterm mooi voor te stellen,
zullen we echter vaak als laatste stap de termen in de veelterm
rangschikken.
Dat kan je op verschillende manieren doen. De meest gebruikelijke manier is om
de termen volgens dalende graad van de eentermen te rangschikken. Wanneer
twee eentermen dezelfde graad hebben, rangschik je die termen alfabetisch
volgens graad zodat bv. de term x2y vóór xy2 komt te staan en de term
x3 vóór y3.
Als je bent vergeten hoe je de graad van een eenterm vindt, lees dan zeker
onze introductieles over eentermen eens na.
Enkele voorbeelden van het rangschikken volgens dalende graad van de eentermen:
Vb. 1:
−3x+2xy+x2y3−5x2=x2y3−5x2+2xy−3x
Vb. 2:
−31a+5a2−4=5a2−31a−4
Vb. 3:
5p2q+3p5−2q2=3p5+5p2q−2q2
We kunnen ook kiezen om enkel naar de graad van een bepaalde variabele te
kijken. Zo zouden we de termen bijvoorbeeld kunnen rangschikken volgens dalende
graad in x. Bijvoorbeeld:
Rangschikken volgens dalende graad in x:
xy3+x3y4−x2y=x3y4−x2y+xy3
Rangschikken volgens dalende graad in b:
ab2−4b3+a4=−4b3+ab2+a4
Rangschikken volgens dalende graad in q:
−q+3p4−3q3+p3q2=−3q3+p3q2−q+3p4
Samengevat
Veeltermen vereenvoudigen
Een veelterm kan je als volgt vereenvoudigen:
Werk alle haakjes uit
Vereenvoudig alle eentermen
Herleid de veelterm (tel de gelijksoortige eentermen op)
Ten slotte zullen we vaak de termen op een bepaalde manier rangschikken,
bijvoorbeeld volgens dalende graad van de eentermen.