Benaderingsregels

Bron: https://hoezithet.nu/lessen/fysica/grootheden_eenheden/benaderingsregels/

Als we berekeningen doen met metingen, moeten we altijd in ons achterhoofd houden dat metingen nooit exact zijn. Stel dat we bijvoorbeeld een meetlat naast een LEGO-blokje leggen, en we meten dat de zijde 1,6 cm1{,}6 \si{ cm} is.

lego meetlat

Als we 100 zulke blokjes naast elkaar leggen, hoe lang zal die rij blokjes dan zijn?

lego 100 bricks

Dat lijkt heel eenvoudig, gewoon 1001,6 cm=160 cm100 \cdot 1{,}6 \si{ cm} = 160 \si{ cm}. We hebben het blokje echter gemeten met een meetlat die maar tot op 0,1 cm0{,}1 \si{ cm} nauwkeurig kan meten. Stel dat we het blokje nu meten met een schuifmaat die tot op 0,01 cm0{,}01 \si{ cm} nauwkeurig kan meten. Nu vinden we dat het blokje 1,58 cm1{,}58 \si{ cm} is.

lego schuifmaat

Als we 100 blokjes naast elkaar zouden leggen, zullen we dus een rij van 158 cm158 \si{ cm} krijgen, niet 160 cm160 \si{ cm}.

lego 100 measured

Met benaderingsregels kunnen we de onzekerheid van een berekening uitdrukken. Als we de benaderingsregels toepassen die we straks zullen leren, krijgen we 1,6 m1{,}6 \si{ m} voor de eerste berekening en 1,58 m1{,}58 \si{ m} voor de tweede berekening. Het belangrijke hierbij is dat er 1,61{,}6 staat en niet 1,601{,}6\red{0}.

Met 1,6 m1{,}6 \si{ m} bedoelen we namelijk: "Iets tussen 1,55 m1{,}55 \si{ m} en 1,65 m1{,}65 \si{ m}," en inderdaad, 1,58 m1{,}58 \si{ m} ligt binnen die foutenmarge.

lego 100 correct margin

Als we bij de eerste berekening 1,601{,}6\red{0} hadden geschreven, zou dat betekenen: "Iets tussen 1,595 m1{,}5\red{95} \si{ m} en 1,605 m1{,}6\red{05} \si{ m}," maar dat is fout, want 1,58 m1{,}58 \si{ m} ligt buiten die foutenmarge.

lego 100 wrong margin

Door na onze berekeningen benaderingsregels toe te passen, zorgen we dat de uitkomst de juiste foutenmarge heeft.

Afronden na de komma

Voor we de benaderingsregels uit de doeken doen, frissen we nog snel even op hoe je getallen moet afronden.

Als voorbeeld ronden we 384,9503384{,}9503 af tot een bepaald aantal cijfers na de komma.

Voor afrondingSoort afrondingNa afrondingUitleg
384,9503384{,}\orange{9}\gold{5}03Op de tienden385,0385{,}\orange{0}55\gold{5} \ge 5 dus 9\orange{9} wordt 101\orange{0}, waardoor de 44 een 55 wordt
384,9503384{,}9\orange{5}\gold{0}3Op de honderdsten384,95384{,}9\orange{5}0<5\gold{0} \lt 5 dus 5\orange{5} blijft 5\orange{5}
384,9503384{,}95\orange{0}\gold{3}Op de duizendsten384,950384{,}95\orange{0}3<5\gold{3} \lt 5 dus 0\orange{0} blijft 0\orange{0}

Afronden vóór de komma

Soms moeten we ook vóór de komma afronden. Dat kunnen we met behulp van machten van 10. We zullen weer 384,9503384{,}9503 gebruiken als voorbeeld.

Voor afrondingSoort afrondingNa afrondingUitleg
384,950338\orange{4}{,}\gold{9}503Op de eenheden38510038\orange{5}\cdot 10^0
of gewoon 38538\orange{5}
95\gold{9} \ge 5 dus 4\orange{4} wordt 5\orange{5}
Vermenigvuldigen met 100=110^0 = 1 omdat we afronden op de eenheden
384,95033\orange{8}\gold{4}{,}9503Op de tientallen381013\orange{8}\cdot 10^14<5\gold{4} \lt 5 dus 8\orange{8} blijft 8\orange{8}
Vermenigvuldigen met 101=1010^1 = 10 omdat we afronden op de tientallen
384,9503\orange{3}\gold{8}4{,}9503Op de honderdtallen4102\orange{4}\cdot 10^285\gold{8} \ge 5 dus 3\orange{3} wordt 4\orange{4}
Vermenigvuldigen met 102=10010^2 = 100 omdat we afronden op de honderdtallen

Optellingen en aftrekkingen

Nadat we berekeningen hebben gedaan, zullen we bijna altijd de benaderingsregels moeten toepassen. Welke regels we moeten toepassen, hangt af van de bewerkingen die we hebben gedaan tijdens de berekening.

Voor optellingen en aftrekkingen kijken we naar het aantal cijfers na de komma. We moeten de uitkomst afronden zodat die hetzelfde aantal cijfers na de komma heeft als het getal in de berekening met het minst aantal cijfers na de komma.

Neem bijvoorbeeld de berekening

24,28+9,13,3524{,}28 + 9{,}1 - 3{,}35

Deze berekening heeft drie termen:

TermAantal cijfers na de komma
24,2824{,}\orange{28}2
9,19{,}\orange{1}1
3,35-3{,}\orange{35}2

Het kleinste aantal cijfers na de komma is dus 1. Dat betekent dat we de uitkomst moeten afronden tot op 1 cijfer na de komma (afronden op de tienden dus). De uitkomst van de berekening zelf is:

24,28+9,13,33=36,7524{,}28 + 9{,}1 - 3{,}33 = 36{,}75

Als we dit vervolgens afronden op de tienden, krijgen we:

36,7536,836{,}\orange{7}\gold{5} \approx 36{,}\orange{8}

Vermenigvuldigingen en delingen

Voor vermenigvuldigingen en delingen kijken we naar het aantal buidende cijfers. We moeten de uitkomst afronden zodat die hetzelfde aantal beduidende cijfers heeft als het getal in de berekening met het minst aantal beduidende cijfers.

Bijvoorbeeld de berekening:

0,00024734,29,10{,}000247 \cdot 34{,}2 \cdot 9{,}1

Deze berekening heeft drie factoren:

FactorAantal beduidende cijfers
0,0002470{,}000\orange{247}3
34,2\orange{34}{,}\orange{2}3
9,1\orange{9}{,}\orange{1}2

Het kleinste aantal beduidende cijfers is dus 2. Dat betekent dat we de uitkomst moeten afronden tot 2 beduidende cijfers. De uitkomst is:

0,00024734,29,1=0,076871340{,}000247 \cdot 34{,}2 \cdot 9{,}1 = 0{,}07687134

Deze uitkomst moeten we afronden zodat enkel de eerste 2 beduidende cijfers overblijven (77 en 66). We moeten dus afronden op de duizendsten (3 plaatsen na de komma):

0,076871340,0770{,}07\orange{6}\gold{8}7134 \approx 0{,}07\orange{7}

Samengevat

Benaderingsregels

  • De uitkomst van een optelling of aftrekking moet hetzelfde aantal cijfers na de komma hebben als het getal in de berekening met het kleinste aantal cijfers na de komma;
  • De uitkomst van een vermenigvuldiging of deling moet hetzelfde aantal beduidende cijfers hebben als het getal in de berekening met het kleinste aantal beduidende cijfers.

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.