Benaderingsregels

Download deze les als pdf

Als we berekeningen doen met metingen, moeten we altijd in ons achterhoofd houden dat metingen nooit exact zijn. Stel dat we bijvoorbeeld een meetlat naast een LEGO-blokje leggen, en we meten dat de zijde 1,6 cm1{,}6 \si{ cm} is.

lego meetlat

Als we 100 zulke blokjes naast elkaar leggen, hoe lang zal die rij blokjes dan zijn?

lego 100 bricks

Dat lijkt heel eenvoudig, gewoon 1001,6 cm=160 cm100 \cdot 1{,}6 \si{ cm} = 160 \si{ cm}. We hebben het blokje echter gemeten met een meetlat die maar tot op 0,1 cm0{,}1 \si{ cm} nauwkeurig kan meten. Stel dat we het blokje nu meten met een schuifmaat die tot op 0,01 cm0{,}01 \si{ cm} nauwkeurig kan meten. Nu vinden we dat het blokje 1,58 cm1{,}58 \si{ cm} is.

lego schuifmaat

Als we 100 blokjes naast elkaar zouden leggen, zullen we dus een rij van 158 cm158 \si{ cm} krijgen, niet 160 cm160 \si{ cm}.

lego 100 measured

Met benaderingsregels kunnen we de onzekerheid van een berekening uitdrukken. Als we de benaderingsregels toepassen die we straks zullen leren, krijgen we 1,6 m1{,}6 \si{ m} voor de eerste berekening en 1,58 m1{,}58 \si{ m} voor de tweede berekening. Het belangrijke hierbij is dat er 1,61{,}6 staat en niet 1,601{,}6\red{0}.

Met 1,6 m1{,}6 \si{ m} bedoelen we namelijk: "Iets tussen 1,55 m1{,}55 \si{ m} en 1,65 m1{,}65 \si{ m}," en inderdaad, 1,58 m1{,}58 \si{ m} ligt binnen die foutenmarge.

lego 100 correct margin

Als we bij de eerste berekening 1,601{,}6\red{0} hadden geschreven, zou dat betekenen: "Iets tussen 1,595 m1{,}5\red{95} \si{ m} en 1,605 m1{,}6\red{05} \si{ m}," maar dat is fout, want 1,58 m1{,}58 \si{ m} ligt buiten die foutenmarge.

lego 100 wrong margin

Door na onze berekeningen benaderingsregels toe te passen, zorgen we dat de uitkomst de juiste foutenmarge heeft.

Afronden na de komma

Voor we de benaderingsregels uit de doeken doen, frissen we nog snel even op hoe je getallen moet afronden.

  • Rond af naar boven als het volgende cijfer groter of gelijk aan 5 is;
  • Rond af naar beneden als het volgende cijfer kleiner dan 5 is.

Als voorbeeld ronden we 384,9503384{,}9503 af tot een bepaald aantal cijfers na de komma.

Voor afrondingSoort afrondingNa afrondingUitleg
384,9503384{,}\orange{9}\gold{5}03Op de tienden385,0385{,}\orange{0}55\gold{5} \ge 5 dus 9\orange{9} wordt 101\orange{0}, waardoor de 44 een 55 wordt
384,9503384{,}9\orange{5}\gold{0}3Op de honderdsten384,95384{,}9\orange{5}0<5\gold{0} \lt 5 dus 5\orange{5} blijft 5\orange{5}
384,9503384{,}95\orange{0}\gold{3}Op de duizendsten384,950384{,}95\orange{0}3<5\gold{3} \lt 5 dus 0\orange{0} blijft 0\orange{0}

Afronden vóór de komma

Soms moeten we ook vóór de komma afronden. Dat kunnen we met behulp van machten van 10. We zullen weer 384,9503384{,}9503 gebruiken als voorbeeld.

Voor afrondingSoort afrondingNa afrondingUitleg
384,950338\orange{4}{,}\gold{9}503Op de eenheden38510038\orange{5}\cdot 10^0
of gewoon 38538\orange{5}
95\gold{9} \ge 5 dus 4\orange{4} wordt 5\orange{5}
Vermenigvuldigen met 100=110^0 = 1 omdat we afronden op de eenheden
384,95033\orange{8}\gold{4}{,}9503Op de tientallen381013\orange{8}\cdot 10^14<5\gold{4} \lt 5 dus 8\orange{8} blijft 8\orange{8}
Vermenigvuldigen met 101=1010^1 = 10 omdat we afronden op de tientallen
384,9503\orange{3}\gold{8}4{,}9503Op de honderdtallen4102\orange{4}\cdot 10^285\gold{8} \ge 5 dus 3\orange{3} wordt 4\orange{4}
Vermenigvuldigen met 102=10010^2 = 100 omdat we afronden op de honderdtallen

Optellingen en aftrekkingen

Nadat we berekeningen hebben gedaan, zullen we bijna altijd de benaderingsregels moeten toepassen. Welke regels we moeten toepassen, hangt af van de bewerkingen die we hebben gedaan tijdens de berekening.

Voor optellingen en aftrekkingen kijken we naar het aantal cijfers na de komma. We moeten de uitkomst afronden zodat die hetzelfde aantal cijfers na de komma heeft als het getal in de berekening met het minst aantal cijfers na de komma.

Neem bijvoorbeeld de volgende berekening met drie gemeten afstanden:

24,28 m+9,1 m3,35 m24{,}28~\si{m} + 9{,}1~\si{m} - 3{,}35~\si{m}

Deze berekening heeft drie termen:

TermAantal cijfers na de komma
24,28 m24{,}\orange{28}~\si{m}2
9,1 m9{,}\orange{1}~\si{m}1
3,35 m-3{,}\orange{35}~\si{m}2

Het kleinste aantal cijfers na de komma is dus 1. Dat betekent dat we de uitkomst moeten afronden tot op 1 cijfer na de komma (afronden op de tienden dus). De uitkomst van de berekening zelf is:

24,28 m+9,1 m3,33 m=36,75 m24{,}28~\si{m} + 9{,}1~\si{m} - 3{,}33~\si{m} = 36{,}75~\si{m}

Als we dit vervolgens afronden op de tienden, krijgen we:

36,75 m36,8 m36{,}\orange{7}\gold{5}~\si{m} \approx 36{,}\orange{8}~\si{m}

Vermenigvuldigingen en delingen

Voor vermenigvuldigingen en delingen kijken we naar het aantal buidende cijfers. We moeten de uitkomst afronden zodat die hetzelfde aantal beduidende cijfers heeft als het getal in de berekening met het minst aantal beduidende cijfers.

Stel bijvoorbeeld dat je de volgende berekening moet maken:

0,247 cm3,42 cm9,1 cm0{,}247~\si{cm} \cdot 3{,}42~\si{cm} \cdot 9{,}1~\si{cm}

Deze berekening heeft drie factoren:

FactorAantal beduidende cijfers
0,247 cm0{,}\orange{247}~\si{cm}3
3,42 cm\orange{3}{,}\orange{42}~\si{cm}3
9,1 cm\orange{9}{,}\orange{1}~\si{cm}2

Het kleinste aantal beduidende cijfers is dus 2. Dat betekent dat we de uitkomst moeten afronden tot 2 beduidende cijfers. De uitkomst is:

0,2473,429,1=7,6871340{,}247 \cdot 3{,}42 \cdot 9{,}1 = 7{,}687134

Deze uitkomst moeten we afronden zodat enkel de eerste 2 beduidende cijfers overblijven (77 en 66). We moeten dus afronden op de tienden (1 plaats na de komma):

7,6871347,77{,}\orange{6}\gold{8}7134 \approx 7{,}\orange{7}

Enkel toepassen bij meetresulaten

We gebruiken de benaderingsregels om rekening te houden met de nauwkeurigheid van een meting. We moeten de benaderingsregels daarom enkel toepassen op getallen die een meetresultaat voorstellen.

Stel bijvoorbeeld dat we de omtrek van een cirkel met straal r=5,3 cmr = 5{,}3~\si{cm} moeten berekenen. Dat kan met de volgende formule:

Omtrek=2πr\text{Omtrek} = 2\pi r

Ingevuld:

Omtrek=2π5,3 cm\text{Omtrek} = 2\pi \cdot 5{,}3~\si{cm}

De 22 in de bovenstaande berekening is geen meetresultaat, maar is deel van de formule om de omtrek van een cirkel te berekenen. Dat getal telt dus niet mee voor de benaderingsregels. Hetzelfde geldt voor π\pi. Enkel 5,3 cm5{,}3~\si{cm} is een meting. De uitkomst moet dus evenveel beduidende cijfers hebben als 5,3 cm5{,}3~\si{cm}, namelijk twee beduidende cijfers:

Omtrek=2π5,3 cm=2π5,3 cm=33,30088 cm=BR33 cm\begin{aligned} \text{Omtrek} &= 2\pi \cdot 5{,}3~\si{cm}\\ &= 2\pi \cdot 5{,}3~\si{cm}\\ &= 33{,}30088\ldots~\si{cm}\\ &\breq 33~\si{cm}\\ \end{aligned}

Samengevat

Benaderingsregels

  • De uitkomst van een optelling of aftrekking moet hetzelfde aantal cijfers na de komma hebben als het getal in de berekening met het kleinste aantal cijfers na de komma;
  • De uitkomst van een vermenigvuldiging of deling moet hetzelfde aantal beduidende cijfers hebben als het getal in de berekening met het kleinste aantal beduidende cijfers.
Download deze les als pdf

Hoe duidelijk vond je deze les?

lamp_broken
lamp_off
lamp_on
👈 Vorige les: Wetenschappelijke schrijfwijze
Volgende les: Formules invullen en omvormen 👉

Vragen en reacties

Hoe Zit Het? vzw
ON 0736.486.356 RPR Brussel