Net zoals je op getallen bewerkingen kan uitvoeren (optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen,...), kan je dat ook met veeltermen. In principe kan je eender
welke bewerking die je met getallen kan doen, ook met veeltermen doen wanneer
de variabelen van de veelterm reële of rationale getallen zijn. We gaan ons
voorlopig echter tot vier basisbewerkingen beperken:
Je krijgt nu één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.
Twee veeltermen die bij elkaar moeten opgeteld worden, dat ziet er bijvoorbeeld
zo uit:
(2a2b−4ab3)+(2ab3−3a2b)
We gaan ervan uit dat de variabelen (a en b) reële getallen
zijn (of rationale getallen, maakt niet uit). We mogen dus de
rekenregels voor reële getallen toepassen. Die zeggen dat de optelling in
R associatief is. Dat betekent dat het niet uitmaakt of we al dan
niet haakjes zetten in een optelling en dat het niet uitmaakt waar we dan wel
die haakjes zouden zetten. We kunnen alle haakjes dus gewoon weglaten:
(2a2b−4ab3)+(2ab3−3a2b)=2a2b−4ab3+2ab3−3a2b
Nu krijgen we een veelterm die we eenvoudig kunnen herleiden door de
gelijksoortige eentermen bij elkaar op te tellen:
Laat de haakjes weg en verander de toestandstekens(+ en −) van de termen van de veelterm die na het minteken stond.
Je krijgt nu één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.
Bij het aftrekken van veeltermen gaan we ook de haakjes weglaten, maar dan
moeten we opletten dat we het minteken correct binnen de haakjes brengen.
Stel dat we de volgende berekening voorgeschoteld krijgen:
(−2x3+3y−5x2y+6)−(2x2y+3−5y−6x3)
Bij het weglaten van de haakjes, vermenigvuldigen we eigenlijk elke term in de
tweede veelterm met het minteken. Net zoals −(−3)=+3. Dat betekent dat
alle tekens van die veelterm moeten veranderen:
Het vermenigvuldigen van een eenterm met een veelterm gaat als volgt:
Vermenigvuldig de coëfficiënt van elke term in de veelterm met de
coëfficiënt van de eenterm
Vermenigvuldig het lettergedeelte van elke term in de veelterm met elke
factor in het lettergedeelte van de eenterm
Ben je even vergeten wat nu weer de "coëfficiënt" en het "lettergedeelte"
was van een eenterm? Lees dan zeker onze les over
eentermen even na.
Stel bijvoorbeeld dat we de volgende berekening moeten maken:
−2xy2⋅(3x2+4y3−6)
We zien dat de eenterm −2xy2 wordt vermenigvuldigd met een veelterm. Eerst
gaan we de −2 van de eenterm vermenigvuldigen met alle coëfficiënten van
de veelterm (3, 4 en −6). We passen dus eigenlijk gewoon de
distributieve eigenschap toe:
−2xy2⋅(3x2+4y3−6)=xy2⋅(−6x2−8y3+12)
Nu staan er enkel nog variabelen buiten de haakjes. We zullen eerste de x
naar binnen brengen door weer gebruik te maken van de distributieve eigenschap:
xy2⋅(−6x2−8y3+12)=y2⋅(−6x3−8xy3+12x)
Merk op dat de −6x2 na de vermenigvuldiging met x veranderd is naar
−6x3. We passen de rekenregel toe van het vermenigvuldigen van
machten met hetzelfde grondtal. Zowel x als x2 hebben namelijk een
grondtal x. Daarom moeten we bij de vermenigvuldigingen de exponenten bij
elkaar optellen: x⋅x2=x1+2=x3.
Goed! Nu staat er nog enkel y2 buiten de haakjes. We kunnen ook hier weer de
distributieve eigenschap gebruiken om die binnen de haakjes te krijgen:
y2⋅(−6x3−8xy3+12x)=(−6x3y2−8xy5+12xy2)
Merk weer op dat we de rekenregel van het vermenigvuldigen van machten met
hetzelfde grondtal hebben toegepast: y2⋅y3=y2+3=y5.
De haakjes rond onze uitkomst mogen we natuurlijk gewoon weglaten. We krijgen
de volgende veelterm:
−6x3y2−8xy5+12xy2
Een veelterm delen door een eenterm
Bij het delen van een veelterm door een eenterm, gaan we gelijkaardig te
werk als bij het vermenigvuldigen van een veelterm met een eenterm:
Deel de coëfficiënt van elke term in de veelterm door de
coëfficiënt van de eenterm
Deel het lettergedeelte van elke term in de veelterm door elke
factor in het lettergedeelte van de eenterm
Stel bijvoorbeeld dat we de volgende deling moeten maken:
(21u2v3−14u2v2+28uv3):(−7uv2)
Dan beginnen we eerst met het delen van alle coëfficiënten van de veelterm
door de −7:
Nu we de u uit de deler hebben gehaald, blijven we enkel nog over met een
deling door v2. We gebruiken dezelfde rekenregels om ook die deling uit te
voeren:
(−3uv3+2uv2−4v3):v2=(−3uv+2u−4v)
Merk op dat ook hier iets wegvalt door de deling: 2uv2:v2=2u.
De haakjes rond onze uitkomst kunnen gewoon weggelaten worden. De uitkomst van
onze deling is dus:
−3uv+2u−4v
Veeltermen met elkaar vermenigvuldigen
Om twee veeltermen met elkaar te vermenigvuldigen, moeten we eigenlijk meerdere
keren een veelterm vermenigvuldigen met een
eenterm. Het stappenplan gaat
als volgt:
Vermenigvuldig elke term van de ene veelterm met elke term van de
andere veelterm.
Je krijgt één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.
Zoals je in de eerste stap ziet, moeten we élke term van de ene met élke term
van de andere veelterm vermenigvuldigen. Het vermenigvuldigen van veeltermen
kan daarom al snel een warboel worden. Het is belangrijk dat je er stap per
stap doorgaat. Stel dat we de volgende vermenigvuldiging moeten oplossen:
(−4a2b+3ab2+ab)⋅(a−2ab)
Nu komt het erop aan om op een gestructureerde manier alle termen van de ene
veelterm met elke term van de andere veelterm te vermenigvuldigen. We beginnen
met de eerste term van de eerste veelterm te vermenigvuldigen met de tweede
veelterm. Dit doen we op precies dezelfde manier als hoe we een eenterm
vermenigvuldigen met een
veelterm Zo kunnen we al het
eerste stuk van onze uitkomst beginnen schrijven:
(−4a2b+3ab2+ab)⋅(a−2ab)=−4a3b+8a3b2+…
Vervolgens vermenigvuldigen we de tweede term van de eerste veelterm met de
tweede veelterm. Zo krijgen we het tweede stuk van de uitkomst:
(−4a2b+3ab2+ab)⋅(a−2ab)=−4a3b+8a3b2+3a2b2−6a2b3+…
Tenslotte vermenigvuldigen we de derde term van de eerste veelterm met de
tweede veelterm.
Tenslotte rangschikken we de veelterm volgens dalende graad van de
eentermen:
8a3b2−6a2b3−4a3b+a2b2+a2b
Veeltermen en eentermen met letterexponenten vermenigvuldigen
Het kan soms voorkomen dat een eenterm of een veelterm letterexponenten
bevat. Stel bijvoorbeeld dat we de volgende vermenigvuldiging hebben van een
eenterm en een veelterm:
x(m+1)yn⋅(−3x+x2yn)
Dan moeten we goed de rekenregel voor het vermenigvuldigen van machten met
hetzelfde grondtal in ons achterhoofd houden. Die zegt dat we bij zo een
vermenigvuldiging de exponenten moeten optellen. We zullen eens tonen hoe
dat gaat wanneer we die x(m+1) binnen de haakjes brengen:
De haakjes rond onze uitkomst kunnen we gerust weglaten. We krijgen dus het
volgende resultaat:
−3x(m+2)yn+x(m+3)y2n
Voor het vermenigvuldigen van twee veeltermen die letterexponenten bevatten,
werken we uiteraard op een gelijkaardige manier. Het verschil is dat je moet
het in dat geval enkele keren vaker moet doen om elke term van de ene veelterm
te vermenigvuldigen met elke term van de andere veelterm.
Samengevat
Het optellen van veeltermen
Het optellen van twee veeltermen doe je zo:
Laat de haakjes weg.
Je krijgt nu één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.
Het aftrekken van veeltermen
Het aftrekken van twee veeltermen gaat zo:
Laat de haakjes weg en verander de toestandstekens (+ en -) van de termen van de veelterm die na het minteken stond.
Je krijgt nu één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.
Een veelterm vermenigvuldigen met een eenterm
Het vermenigvuldigen van een veelterm met een eenterm gaat als volgt:
Vermenigvuldig de coëfficiënt van elke term in de veelterm met de
coëfficiënt van de eenterm
Vermenigvuldig het lettergedeelte van elke term in de veelterm met elke
factor in het lettergedeelte van de eenterm
Een veelterm delen door een eenterm
Het delen van een veelterm door een eenterm doen we als volgt:
Deel de coëfficiënt van elke term in de veelterm door de
coëfficiënt van de eenterm
Deel het lettergedeelte van elke term in de veelterm door elke
factor in het lettergedeelte van de eenterm
Een veelterm vermenigvuldigen met een andere veelterm
Twee veeltermen met elkaar te vermenigvuldigen, doen we zo:
Vermenigvuldig elke term van de ene veelterm met elke term van de
andere veelterm.
Je krijgt één lange veelterm. Vereenvoudig en herleid die veelterm.