Veeltermen vereenvoudigen en herleiden

Voor we een veelterm beginnen gebruiken, zorgen we er best voor dat we hem zo kort mogelijk schrijven. Dat bespaart ons schrijfwerk achteraf en zorgt ervoor dat we eenvoudiger gelijkenissen tussen veeltermen kunnen ontdekken. Het vereenvoudigen van een veelterm doe je zo:

1. Werk de haakjes uit in elke eenterm;
2. Vereenvoudig alle eentermen;
3. Herleid door de gelijksoortige eentermen bij elkaar op te tellen.

In deze les leggen we elk van die stappen wat verder uit.

Haakjes uitwerken

Soms staat een factor van een term in een veelterm tussen haakjes. Voor we een veelterm gaan vereenvoudigen, werken we eerst alle haakjes uit.

De uitdrukking die tussen haakjes staat, kan zelf een eenterm of een veelterm zijn. Bijvoorbeeld:

• In de veelterm
  $$-ab^2 + 3(b^3c^2)$$
  staat er een eenterm tussen haakjes.
• In de veelterm
  $${- 5(x^3 + 2x^2) + 3x^2}$$
  staat er een veelterm tussen haakjes.

Wanneer de uitdrukking tussen haakjes een eenterm is, mag je de haakjes gewoon weglaten. Dat mag omdat de vermenigvuldiging in $\mathbb{R}$ associatief is en we ervan uitgaan dat alle variabelen reële ($\in \mathbb{R}$) of rationale ($\in \mathbb{Q}$) getallen zijn. Bijvoorbeeld:

• Vb. 1:
  $$-ab^2 + \sqrt{3}\cdot \orange{(b^3c^2)} = -ab^2 + \sqrt{3}\cdot \orange{b^3c^2}$$
• Vb. 2:
  $$6\cdot \orange{(x^3y^3)} + 5y^2 = 6\cdot \orange{x^3y^3} + 5y^2$$
• Vb. 3:
  $$-2\cdot \orange{(st^2)} + \blue{(\frac{5}{2}t^3u^2)} - 9 = - 2\cdot \orange{st^2} + \blue{\frac{5}{2}t^3u^2} - 9$$

Let wel op wanneer er een minteken tussen haakjes staat. Dat minteken breng je naar voor in de term en combineer je vooraan met het toestandsteken dat er al stond:

• Vb. 1:
  $$\orange{-p^3(-5q^2r)} - 5q \blue{+ 3(-p^2r^3)} = \orange{5p^3q^2r} - 5q \blue{- 3p^2r^3}$$
• Vb. 2:
  $$-x^2y \orange{+ 3(-xy^2)} = - x^2y \orange{- 3xy^2}$$
• Vb. 3:
  $$y^3 + \sqrt{5} y^2 \orange{- (-9y)} = y^3 + \sqrt{5} y^2 \orange{+ 9y}$$

Wanneer de uitdrukking tussen haakjes een veelterm is, probeer je eerst die veelterm apart te vereenvoudigen. Wanneer die niet vereenvoudigbaar meer is, pas je de distributieve eigenschap toe.

• Vb. 1:
  $$\begin{aligned} 3(p^2 + \orange{(-5p^3)}) - 2p &= 3(p^2 - \orange{5p^3}) - 2p\\ &= \orange{3p^2 - 15p^3} - 2p \end{aligned}$$
• Vb. 2:
  $$\begin{aligned} -6x^4 - 2x (\orange{-3(4y^2)} - 2y + 5) &= - 6x^4 - 2x (\orange{-12y^2} - 2y + 5)\\ &= - 6x^4 \orange{+ 24xy^2 + 4xy - 10x} \end{aligned}$$
• Vb. 3:
  $$5q^3r^2 \orange{- (q + 2r)} = 5q^3 r^2 \orange{- q - 2r}$$

Eentermen vereenvoudigen

Vanaf er geen haakjes meer zijn in de termen van de veelterm, gaan we alle eentermen vereenvoudigen. Vergeet daarbij niet om de factoren van de eenterm te rangschikken. De coëfficiënt zetten we voorop en de variabelen rangschikken we alfabetisch. Door in deze stap de factoren van de eentermen al meteen te rangschikken, zullen we in de volgende stap heel eenvoudig de gelijksoortige eentermen kunnen vinden.

• Vb. 1:
  $$\orange{-2yx^2\cdot 3x} + 4y^2 = \orange{- 6x^3 y} + 4y^2$$
• Vb. 2:
  $$\orange{2\cdot 5 q^3} \blue{- p \cdot p^2} + 4 = \orange{10 q^3} \blue{- p^3} + 4$$
• Vb. 3:
  $$\orange{zyx} \blue{- 2 \frac{xy^3}{3} x} \green{+ 3z^3z} = \orange{xyz} \blue{- \frac{2}{3} x^2y^3} \green{+ 3z^4}$$

Herleid door de gelijksoortige eentermen op te tellen

Wanneer alle eentermen in een veelterm vereenvoudigd zijn, gaan we alle gelijksoortige eentermen bij elkaar optellen. Dit noemen we ook wel het herleiden van de veelterm. Om de gelijksoortige eentermen bij elkaar te kunnen optellen, moeten we natuurlijk eerst op zoek naar waar er allemaal gelijksoortige eentermen zijn in de veelterm. In de vorige stap hebben we de factoren van de eentermen al gerangschikt. Daardoor zal het nu eenvoudiger zijn om de gelijksoortige eentermen te vinden.

Hieronder hebben we per veelterm de gelijksoortige eentermen aangeduid in dezelfde kleur:

• Vb. 1:
  $$\orange{-3xy^2} + 5x^3 \orange{+ 9 xy^2}$$
• Vb. 2:
  $$\orange{-2qr} + p^2qr^3 \green{- 6p} \orange{+ 5qr} \green{+ 3 p}$$
• Vb. 3:
  $$\orange{\frac{4}{5}a^2b} \green{- 2b} + \frac{4}{5}a^2 \green{+ \frac{4}{5}b} \orange{- a^2b}$$

Eens je de gelijksoortige eentermen hebt aangeduid, moet je de gelijksoortige eentermen optellen bij elkaar. Dat doe je door de coëfficiënten op te tellen en het lettergedeelte te laten staan.

We werken de voorbeelden van hierboven verder uit:

• Vb. 1:
  $$\begin{aligned} \orange{-3xy^2} + 5x^3 \orange{+ 9 xy^2} &= \orange{(-3 + 9)xy^2} + 5x^3\\ &= \orange{6xy^2} + 5x^3 \end{aligned}$$
• Vb. 2:
  $$\begin{aligned} \orange{-2qr} + p^2qr^3 \green{- 6p} \orange{+ 5qr} \green{+ 3 p} &= \orange{(-2 + 5)qr} + p^2qr^3 + \green{(-6 + 3)p}\\ &= \orange{3qr} + p^2qr^3 \green{-3p} \end{aligned}$$
• Vb. 3:
  $$\begin{aligned} \orange{\frac{4}{5}a^2b} \green{- 2b} + \frac{4}{5}a^2 \green{+ \frac{4}{5}b} \orange{- a^2b} &= \orange{(\frac{4}{5} - 1)a^2b} + \green{(-2+ \frac{4}{5})b} + \frac{4}{5}a^2\\ &= \orange{-\frac{1}{5}a^2b} \green{-\frac{6}{5}b} + \frac{4}{5}a^2 \end{aligned}$$

We maken hier eigenlijk gebruik van de distributieve eigenschap in $\mathbb{R}$ die zegt dat de vermenigvuldiging distributief is over de optelling in $\mathbb{R}$.

Termen rangschikken

Eens je de eentermen hebt vereenvoudigd en de gelijksoortige eentermen hebt opgeteld, is de veelterm vereenvoudigd. 🙌 Om de veelterm mooi voor te stellen, zullen we echter vaak als laatste stap de termen in de veelterm rangschikken.

Dat kan je op verschillende manieren doen. De meest gebruikelijke manier is om de termen volgens dalende graad van de eentermen te rangschikken. Wanneer twee eentermen dezelfde graad hebben, rangschik je die termen alfabetisch volgens graad zodat bv. de term $x^2y$ vóór $xy^2$ komt te staan en de term $x^3$ vóór $y^3$.

Enkele voorbeelden van het rangschikken volgens dalende graad van de eentermen:

• Vb. 1:
  $$-3\orange{x} + 2\orange{xy} + \orange{x^2y^3} - 5 \orange{x^2} = \orange{x^2y^3} - 5 \orange{x^2} + 2\orange{xy} - 3\orange{x}$$
• Vb. 2:
  $$-\frac{1}{3}\orange{a} + 5\orange{a^2} - 4 = 5\orange{a^2} -\frac{1}{3}\orange{a} - 4$$
• Vb. 3:
  $$5\orange{p^2q} + 3 \orange{p^5} - 2\orange{q^2} = 3\orange{p^5} + 5\orange{p^2q} - 2\orange{q^2}$$

We kunnen ook kiezen om enkel naar de graad van een bepaalde variabele te kijken. Zo zouden we de termen bijvoorbeeld kunnen rangschikken volgens dalende graad in $x$. Bijvoorbeeld:

• Rangschikken volgens dalende graad in $x$:

• Rangschikken volgens dalende graad in $b$:

• Rangschikken volgens dalende graad in $q$:

Samengevat

Hoe duidelijk vond je deze les?

Niet duidelijk

Redelijk duidelijk

Heel duidelijk

👈 Vorige les: Wat is een veelterm?

Volgende les: Getalwaarde van een veelterm 👉

Vragen en reacties