Optellen en aftrekken van eentermen

Inhoud

Vereenvoudig alle eentermen
Duid de gelijksoortige eentermen aan
Tel de coëfficiënt per soort op
Samengevat

Het optellen en aftrekken van eentermen zullen we later gebruiken bij het vereenvoudigen van veeltermen. Het gaat als volgt:

Vereenvoudig alle eentermen.
Duid de gelijksoortige eentermen aan.
Tel per soort de coëfficiënten op, of trek ze van elkaar af.

Als voorbeeld gebruiken we:

-3y\cdot x\cdot(-y)^2\cdot (-2) + 5x + 2y^3x + x\cdot (-2)^3

Vereenvoudig alle eentermen

Hoe we eentermen kunnen vereenvoudigen, vind je terug in een vorige les. De eentermen in ons voorbeeld zijn:

$-3y\cdot x\cdot(-y)^2\cdot (-2)$
$5x$
$2y^3x$
$x\cdot (-2)^3$

Elk van deze vereenvoudigen geeft:

$6xy^3$
$5x$
$2xy^3$
$-8x$

Ons voorbeeld wordt dus:

6xy^3 + 5x + 2xy^3 - 8x

Duid de gelijksoortige eentermen aan

Na het vereenvoudigen, duiden we de gelijksoortige eentermen aan. De gelijksoortige eentermen, zijn hier

$6xy^3$ en $2xy^3$ hebben allebei het lettergedeelte $xy^3$
$5x$ en $-8x$ hebben allebei het lettergedeelte $x$

Aangeduid in ons voorbeeld:

\orange{6xy^3} + \blue{5x} + \orange{2xy^3} \blue{- 8x}

Merk op dat we ook het minteken van $- 8x$ aanduiden, omdat een minteken altijd deel uitmaakt van de eenterm waar het bij staat.

Tel de coëfficiënt per soort op

We vonden hierboven al dat er twee soorten eentermen in ons voorbeeld zaten: eentermen met $xy^3$ als lettergedeelte en eentermen met $x$ als lettergedeelte.

Nu moeten we enkel per soort de coëfficiënten bij elkaar optellen. Voor de eentermen met $xy^3$ als lettergedeelte geeft dit:

\begin{aligned} \orange{6}xy^3 + \orange{2}xy^3 &= (\orange{6} + \orange{2})xy^3\\ &= \orange{8}xy^3 \end{aligned}

Voor de eentermen met $x$ als lettergedeelte krijgen we:

\begin{aligned} \blue{5}x \blue{-8}x &= (\blue{5} \blue{-8})x \\ &= \blue{-3}x \end{aligned}

Waarom moeten we per soort optellen?

Waarom mogen we enkel de coëfficiënten van gelijksoortige eentermen bij elkaar zetten? Waarom mogen we in ons voorbeeld

6xy^3 + 5x + 2xy^3 - 8x

de $6$ en de $2$ bij elkaar optellen, maar niet de $6$ en de $5$ ?

Wanneer we de coëfficiënten van gelijksoortige eentermen bij elkaar optellen, maken we eigenlijk gebruik van de distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling in $\mathbb{Q}$ (geldt ook voor $\mathbb{R}$ ):

Gewoon uitrekenen	Distributiviteit toepassen
$\begin{aligned}(6 + 3)\cdot 2 &= (9) \cdot 2\\&= 18\end{aligned}$	$\begin{aligned}(6 + 3)\cdot \orange{2} &= 6\cdot\orange{2} + 3\cdot\orange{2}\\&=12 + 6\\&= 18\end{aligned}$

We pasten de distributiviteit toe in deze lijn:

(6 + 3)\cdot \orange{2} = 6\cdot\orange{2} + 3\cdot\orange{2}

Als we die lijn omdraaien, krijgen we een soort omgekeerde distributiviteit (dit noemen we ook wel "afzonderen"):

6\cdot\orange{2} + 3\cdot\orange{2} = (6 + 3)\cdot \orange{2}

We mogen de $6$ en de $3$ aan de rechterkant bij elkaar optellen omdat we ze aan de linkerkant allebei met $\orange{2}$ vermenigvuldigden. Dat is precies wat we bij het optellen van gelijksoortige eentermen ook doen:

6\orange{ab^3} + 3\orange{ab^3} = (6 + 3)\orange{ab^3}

Wanneer twee eentermen hetzelfde lettergedeelte hebben, kunnen we dus een soort omgekeerde distributiviteit toepassen. Dat betekent dat we de coëfficiënten bij elkaar mogen optellen.

Wanneer twee eentermen niet hetzelfde lettergedeelte hebben, kunnen we die omgekeerde distributiviteit niet toepassen en mogen we de coëfficiënten dus niet bij elkaar optellen.

Als we nu alles terug samen zetten, krijgen we dus: