Een eenterm bestaat in principe enkel uit een coëfficiënt en een
lettergedeelte. Toch kan een
eenterm er soms wat ingewikkeld uitzien. Om een eenterm er zo minst
angstaanjagend mogelijk te laten uitzien, moeten we de eenterm
vereenvoudigen.
Het vereenvoudigen van een eenterm gaat als volgt:
De andere factor die haakjes met een macht bevat, is (−y)2. Het
minteken binnen de haakjes moet je ook tot de macht verheffen. Dat doe je door
in gedachten het minteken te vervangen door (−1) en die mee te verheffen
tot de macht:
We mogen een minteken altijd vervangen door (−1) omdat een minteken voor een
factor hetzelfde betekent als "vermenigvuldig met −1".
Bijvoorbeeld, −1⋅2=−2. Dus of we nu −2 schrijven, of −1⋅2
of (−1)⋅2, dat is allemaal hetzelfde. Eén pot nat. 🍯
Haakjes met een minteken uitwerken
De laatste haakjes in ons voorbeeld staan rond de factoren (−2) en (−5):
−3y⋅23x3z3⋅y2⋅(−2)⋅(−5)
Ze staan er om de mintekens af te schermen van de maaltekens die ervoor
staat. In dat geval gaan we weer in gedachte de mintekens vervangen door
(−1). Dit doen we ook voor het minteken van de coëfficiënt. Vervolgens
zetten we alle (−1)−en voorop en bepalen we het uiteindelijke teken van de
coëfficiënt.
De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief. Dat betekent dat de volgorde
waarin je een vermenigvuldiging uitrekent, niet uitmaakt:
5⋅2⋅3=303⋅2⋅5=302⋅5⋅3=30
Je mag in een vermenigvuldiging van rationale getallen de factoren dus altijd
van plaats veranderen.
We hebben daarnet al gezien dat een minteken hetzelfde is als vermenigvuldigen
met (−1). Een minteken is dus hetzelfde als een factor (−1). Hierboven
zeiden we dat we in een vermenigvuldiging de factoren altijd van plaats mogen
veranderen, dus we mogen gerust alle (−1)−en voorop zetten.
De volgende stap is om de coëfficiënt, of het
cijfergedeelte, van de eenterm uit te rekenen. Daarvoor mag je in gedachte alle
variabelen even weglaten. Vervolgens reken je de bewerking die
er staat gewoon uit:
−3⋅y⋅23x3z3⋅y2⋅2⋅5
Dit uitrekenen geeft:
−3⋅23⋅2⋅5=−3⋅8⋅10=−24⋅10=−240
Dit resultaat terug invullen geeft:
−240⋅y⋅x3z3⋅y2
Waarom mag je de coëfficiënt apart uitrekenen?
De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief. Dat betekent dat de volgorde
waarin je een vermenigvuldiging uitrekent, niet uitmaakt:
4⋅5⋅7=1407⋅4⋅5=1405⋅4⋅7=140
Je mag in een vermenigvuldiging van rationale getallen de factoren dus altijd
van plaats veranderen. Omdat zowel de variabelen als de getallen in onze
eenterm rationaal zijn (reëel mag ook), mogen we ze dus van
plaats veranderen.
4⋅a⋅b⋅3=3⋅a⋅4⋅b=b⋅3⋅a⋅4
We kiezen ervoor om het volledige
cijfergedeelte vooraan te zetten
en als eerste uit te rekenen.
4⋅a⋅b⋅3=4⋅3⋅a⋅b=12⋅a⋅b
Lettergedeelte uitrekenen
Eens het cijfergedeelte van de eenterm is opgekuist, pakken we het
lettergedeelte aan. Om het lettergedeelte te vereenvoudigen, ga je op zoek naar
factoren met dezelfde variabele in hun grondtal. Voor elk zo'n variabele
tel je de exponenten bij elkaar op. Zo krijg je de nieuwe exponent van die
variabele.
In ons voorbeeld komen drie variabelen voor: x, y en z. Enkel de
variabele y komt meerdere keren voor:
−240⋅y⋅x3z3⋅y2
Het optellen van de exponenten van y geeft:
−240⋅y1⋅x3z3⋅y2=−240⋅y1+2⋅x3z3=−240⋅y3⋅x3z3
Waarom tellen we de exponenten bij elkaar op?
Stel dat we de volgende eenterm hebben:
a4⋅a2⋅b3
Dan kunnen we die eenterm languit schrijven als
a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅b⋅b⋅b
We vermenigvuldigen a dus 6 keer met zichzelf en vervolgens vermenigvuldigen
we b 3 keer met zichzelf. Dat is hetzelfde als
a6⋅b3
Vanwaar komt die 6 van a6 nu? Wel de a4 gaf ons 4 a's en de
a2 gaf er ons nog eens 2. In totaal kregen we dus 4+2=6a's. We kunnen bijgevolg zeggen dat:
a4⋅a2⋅b3=a4+2⋅b3
In het algemeen is de regel dat je in een vermenigvuldiging exponenten bij
elkaar mag optellen wanneer ze hetzelfde grondtal hebben:
an⋅am=an+m
Waarbij a,n,m∈Q(of R mag ook).
Factoren rangschikken
Vanaf we de coëfficiënt en het lettergedeelte hebben vereenvoudigd, zijn alle
factoren van onze eenterm vereenvoudigd. Vaak gaan we echter nog als laatste
stap de factoren van de eenterm rangschikken. De meest gebruikelijke manier
van rangschikken is:
Zet de coëfficiënt en het toestandsteken voorop;
Rangschik de variabelen alfabetisch.
We hebben ons voorbeeld al tot deze vorm kunnen vereenvoudigen:
−240⋅y3⋅x3z3
De coëfficiënt en het toestandsteken (de −240) staan al voorop :+1:. Nu
moeten we enkel nog de variabelen alfabetisch rangschikken:
−240⋅x3⋅y3⋅z3
Tenslotte laten we de maaltekens weg waar het kan:
−240x3y3z3
Wat. Een. Prachtige. Eenterm. 😌
Samengevat
Eentermen vereenvoudigen
Het vereenvoudigen van eentermen doe je als volgt:
Werk de haakjes weg door machten en mintekens uit te werken;
Vermenigvuldig alle factoren in het cijfergedeelte met elkaar;
Combineer de factoren in het lettergedeelte per soort en reken hun nieuwe macht uit;
Zet het toestandsteken en de coëfficiënt voorop en rangschik de variabelen alfabetisch.