Eentermen vereenvoudigen
Een eenterm bestaat in principe enkel uit een coëfficiënt en een lettergedeelte. Toch kan een eenterm er soms wat ingewikkeld uitzien. Om een eenterm er zo minst angstaanjagend mogelijk te laten uitzien, moeten we de eenterm vereenvoudigen.
Het vereenvoudigen van een eenterm gaat als volgt:
- Werk de haakjes weg;
- Reken de coëfficiënt uit;
- Reken het lettergedeelte uit;
- Rangschik de factoren.
Als voorbeeld zullen we volgende eenterm vereenvoudigen:
$$-3y\cdot (2xz)^3 \cdot(-y)^2\cdot (-2)\cdot (-5)$$
Haakjes wegwerken
Wanneer een eenterm haakjes bevat, zullen we die eerst wegwerken. Er zijn verschillende manieren waarop haakjes kunnen voorkomen in een eenterm:
- Haakjes die factoren tot een bepaalde macht verheffen
- Haakjes rond factoren met een minteken
In ons voorbeeld staan er haakjes in de factoren $\orange{(2xz)^3}$, $\orange{(-y)^2}$, $\orange{(-2)}$ en $\orange{(-5)}$:
$$-3y\cdot \orange{(2xz)^3}\cdot\orange{(-y)^2}\cdot \orange{(-2)} \cdot \orange{(-5)}$$
Haakjes met een macht uitwerken
Als er een macht bij de haakjes staat, verhef je elke factor binnen de haakjes tot die macht. Voor de factor $\orange{(2xz)^3}$ geeft dit:
$$(2xz)^3 = 2^3x^3z^3$$
Dit invullen in het voorbeeld geeft:
$$-3y\cdot \orange{(2xz)^3}\cdot(-y)^2\cdot (-2) \cdot (-5) = -3y\cdot \orange{2^3x^3z^3}\cdot(-y)^2\cdot (-2) \cdot (-5)$$
Ziezo, die haakjes zijn al weg! 💪
De andere factor die haakjes met een macht bevat, is $\orange{(-y)^2}$. Het minteken binnen de haakjes moet je ook tot de macht verheffen. Dat doe je door in gedachten het minteken te vervangen door $(-1)$ en die mee te verheffen tot de macht:
\begin{split}
(\orange{-}y)^2 &= (\orange{(-1)}\cdot y)^2\\
&= \orange{(-1)}^2\cdot y^2\\
&= y^2
\end{split}
Terug invullen in het voorbeeld geeft:
$$-3y\cdot 2^3x^3z^3\cdot\orange{(-y)^2}\cdot (-2) \cdot (-5) = -3y\cdot 2^3x^3z^3\cdot\orange{y^2}\cdot (-2) \cdot (-5)$$
Haakjes met een minteken uitwerken
De laatste haakjes in ons voorbeeld staan rond de factoren $\orange{(-2)}$ en $\orange{(-5)}$:
$$-3y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot \orange{(-2)} \cdot \orange{(-5)}$$
Ze staan er om de mintekens af te schermen van de maaltekens die ervoor staat. In dat geval gaan we weer in gedachte de mintekens vervangen door $(-1)$. Dit doen we ook voor het minteken van de coëfficiënt. Vervolgens zetten we alle $(-1)-$en voorop en bepalen we het uiteindelijke teken van de coëfficiënt.
\begin{split}
\orange{-}3y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot \blue{(-2)} \cdot \green{(-5)} &= \orange{(-1)}\cdot 3y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot \blue{(-1)\cdot 2} \cdot \green{(-1)\cdot 5}\\
&= \orange{(-1)}\cdot\blue{(-1)}\cdot\green{(-1)}\cdot 3\cdot y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot \blue{2} \cdot \green{5}\\
&= \orange{-}3\cdot y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot \blue{2} \cdot \green{5}
\end{split}
Coëfficiënt uitrekenen
Onze veelterm bevat nu geen haakjes meer:
$$-3\cdot y\cdot 2^3x^3z^3\cdot y^2\cdot 2 \cdot 5$$
De volgende stap is om de coëfficiënt, of het cijfergedeelte, van de eenterm uit te rekenen. Daarvoor mag je in gedachte alle variabelen even weglaten. Vervolgens reken je de bewerking die er staat gewoon uit:
$$-3\gray{\cdot y}\cdot 2^3\gray{x^3z^3\cdot y^2}\cdot 2 \cdot 5$$
Dit uitrekenen geeft:
\begin{split}
-3\cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 5 &= -3 \cdot 8 \cdot 10\\
&= -24 \cdot 10 \\
&= -240
\end{split}
Dit resultaat terug invullen geeft:
$$\orange{-240}\cdot y\cdot x^3z^3\cdot y^2$$
Lettergedeelte uitrekenen
Eens het cijfergedeelte van de eenterm is opgekuist, pakken we het lettergedeelte aan. Om het lettergedeelte te vereenvoudigen, ga je op zoek naar factoren met dezelfde variabele in hun grondtal. Voor elk zo’n variabele tel je de exponenten bij elkaar op. Zo krijg je de nieuwe exponent van die variabele.
In ons voorbeeld komen drie variabelen voor: $x$, $y$ en $z$. Enkel de variabele $y$ komt meerdere keren voor:
$$-240\cdot \orange{y}\cdot x^3z^3 \cdot \orange{y^2}$$
Het optellen van de exponenten van $\orange{y}$ geeft:
\begin{split}
-240\cdot \orange{y^1}\cdot x^3z^3 \cdot \orange{y^2} &= -240\cdot \orange{y^{1 + 2}}\cdot x^3z^3\\
&= -240\cdot \orange{y^{3}}\cdot x^3z^3\\
\end{split}
Factoren rangschikken
Vanaf we de coëfficiënt en het lettergedeelte hebben vereenvoudigd, zijn alle factoren van onze eenterm vereenvoudigd. Vaak gaan we echter nog als laatste stap de factoren van de eenterm rangschikken. De meest gebruikelijke manier van rangschikken is:
- Zet de coëfficiënt en het toestandsteken voorop;
- Rangschik de variabelen alfabetisch.
We hebben ons voorbeeld al tot deze vorm kunnen vereenvoudigen:
$$-240\cdot y^{3}\cdot x^3z^3$$
De coëfficiënt en het toestandsteken (de $-240$) staan al voorop 👍. Nu moeten we enkel nog de variabelen alfabetisch rangschikken:
$$-240\cdot x^3\cdot y^{3}\cdot z^3$$
Tenslotte laten we de maaltekens weg waar het kan:
$$-240 x^3 y^{3}z^3$$
Wat. Een. Prachtige. Eenterm. 😌
Samengevat
Hoe duidelijk vond je deze les?
