Volgorde van de bewerkingen

Download deze les als pdf

Over rekenregels gaan we vaak nogal snel over. De volledige wiskunde is echter uit die rekenregels ontstaan en bouwt erop verder. Als we de rekenregels dus niet grondig begrijpen, staat onze wiskunde op losse schroeven. Misschien daarom toch nog eens best alles proper opsommen (ba dum tss πŸ₯).

De verkeersregels van het rekenen

Hoe moet je een wiskundige uitdrukking als

4βˆ’5β‹…824 - 5 \cdot 8 ^ 2

uitrekenen?

Zo?

4βˆ’5β‹…82=βˆ’1β‹…82=βˆ’82=βˆ’64\begin{aligned} \neg{4 - 5} \cdot 8 ^ 2 &= \neg{-1} \cdot 8 ^ 2 \\ &= -8 ^ 2 \\ &= \neg{-64} \end{aligned}

Of zo?

4βˆ’5β‹…82=4βˆ’402=4βˆ’1600=βˆ’1596\begin{aligned} 4 - \neg{5 \cdot 8} ^ 2 &= 4 - \neg{40}^2 \\ &= 4 - \neg{1600} \\ &= \neg{- 1596} \end{aligned}

Of misschien zo?

4βˆ’5β‹…82=4βˆ’5β‹…64=4βˆ’320=βˆ’316\begin{aligned} 4 - 5 \cdot \pos{8 ^ 2} &= 4 - 5 \cdot \pos{64} \\ &= 4 - \pos{320} \\ &= \pos{- 316} \end{aligned}

Welke van die manieren is juist? De volgorde van de bewerkingen geeft ons enkele voorrangsregels voor berekeningen zoals 4βˆ’5β‹…824 - 5 \cdot 8 ^ 2.

πŸ’‘ De volgorde van de bewerkingen

Bij bewerkingen spreken we de volgende voorrangsregels af (A.K.A. de volgorde van de bewerkingen):

  1. Haakjes hebben voorrang op alles;
  2. Machten (en wortels) hebben voorrang op vermenigvuldigingen (en delingen);
  3. Vermenigvuldingen (en delingen) hebben voorrang op optellingen (en aftrekkingen);
  4. Optellingen (en aftrekkingen) hebben voorrang op niets.

De lichtgrijze bewerkingen hebben dezelfde voorrang als de bewerking waar ze bij staan. Een vermenigvuldiging en een deling hebben dus allebei voorrang op een som en een aftrekking. Wanneer twee zulke bewerkingen na elkaar geschreven staan (dus bv. een deling en dan een vermenigvuldiging), spreken we af om gewoon van links naar rechts te werken. De uitdrukking 8Γ·4β‹…38 \div 4 \cdot 3 rekenen we dus uit als

8Γ·4β‹…3=2β‹…3=6\begin{aligned} \pos{8 \div 4} \cdot 3 &= \pos{2} \cdot 3 \\ &= \pos{6} \end{aligned}

omdat we de deling eerst tegenkomen wanneer we van links naar rechts lezen.

We zullen die volgorde van de bewerkingen eens toepassen op 4βˆ’5β‹…824 - 5 \cdot 8 ^ 2.

Er staan 33 verschillende bewerkingen: min, maal en een macht. Moeten we eerst 4βˆ’5\orange{4 - 5} doen of eerst 5β‹…8\orange{5 \cdot 8} of eerst 82\orange{8 ^ 2}? De regels zeggen: "Machten hebben voorrang op vermenigvuldigingen", de eerste stap is dus om de macht uit te rekenen:

4βˆ’5β‹…82=4βˆ’5β‹…64 4 - 5 \cdot \orange{8 ^ 2} = 4 - 5 \cdot \orange{64}

Nu hebben we de uitdrukking 4βˆ’5β‹…644 - 5 \cdot 64 met nog twee bewerkingen: min en maal. Eerst 4βˆ’5\orange{4 - 5} of eerst 5β‹…64\orange{5 \cdot 64}? "Vermenigvuldingen hebben voorrang op optellingen (en aftrekkingen)", dus:

4βˆ’5β‹…64=4βˆ’320 4 - \orange{5 \cdot 64} = 4 - \orange{320}

Tenslotte hebben we de uitdrukking 4βˆ’3204 - 320 en blijft er maar één bewerking over; een aftrekking:

4βˆ’320=βˆ’316 \orange{4 - 320} = \orange{-316}

De juiste manier om 4βˆ’5β‹…824 - 5 \cdot 8 ^ 2 uit te rekenen, gaat dus als volgt:

4βˆ’5β‹…82=4βˆ’5β‹…64=4βˆ’320=βˆ’316\begin{aligned} 4 - 5 \cdot \pos{8 ^ 2} &= 4 - 5 \cdot \pos{64} \\ &= 4 - \pos{320} \\ &= \pos{- 316} \end{aligned}

Een ingewikkelder voorbeeld

In plaats van langzaam op te bouwen naar een ingewikkeld voorbeeld, zullen we meteen eens een monster van uitdrukking uitrekenen.

βˆ’(4βˆ’7)2β‹…2+9β‹…4Γ·3βˆ’4β‹…3βˆ’5+7-(4 - 7)^2 \cdot 2 + \sqrt{9 \cdot 4} \div 3 - \frac{4 \cdot 3}{-5 + 7}

Hoe kan je zoiets uitrekenen? De volgorde van de bewerkingen leidt er ons stapje per stapje door. Ze zegt dat de haakjes altijd eerst moeten worden uitgerekend, zij hebben voorrang op alles. Hier staan vier dingen tussen haakjes:

βˆ’(4βˆ’7)2β‹…2+9β‹…4Γ·3βˆ’4β‹…3βˆ’5+7-(\orange{4 - 7})^2 \cdot 2 + \sqrt{\orange{9 \cdot 4}} \div 3 - \frac{\orange{4 \cdot 3}}{\orange{-5 + 7}}

Merk op dat we de teller en noemer van een breuk ook als iets tussen haakjes zien. Dat komt omdat we een breuk zoals bijvoorbeeld 1βˆ’43+2\frac{1 - 4}{3 + 2} ook kunnen schrijven als een deling (1βˆ’4)Γ·(3+2)(1 - 4) \div (3 + 2). De teller en noemer staan dus eigenlijk tussen haakjes. Ook alles wat onder een wortel staat, staat eigenlijk tussen haakjes. Al die haakjes uitrekenen is snel gebeurd:

βˆ’(4βˆ’7⏟=βˆ’3)2β‹…2+9β‹…4⏟=36Γ·3βˆ’4β‹…3⏞=12βˆ’5+7⏟=2=βˆ’(βˆ’3)2β‹…2+36Γ·3βˆ’122\begin{gathered} -(\underbrace{4 - 7}_{= \orange{-3}})^2 \cdot 2 + \sqrt{\underbrace{9 \cdot 4}_{= \orange{36}}} \div 3 - \frac{\overbrace{4 \cdot 3}^{= \orange{12}}}{\underbrace{-5 + 7}_{= \orange{2}}}\\ = -(\orange{-3})^2 \cdot 2 + \sqrt{\orange{36}}\div 3 - \frac{\orange{12}}{\orange{2}} \end{gathered}

De uitdrukking wordt al meteen een pak eenvoudiger. Na de haakjes hebben de machten en wortels voorrang. Er zijn twee machten en wortels:

βˆ’(βˆ’3)2β‹…2+36Γ·3βˆ’122-\orange{(-3)^2} \cdot 2 + \orange{\sqrt{36}}\div 3 - \frac{12}{2}

Deze macht en wortel uitrekenen geeft:

βˆ’(βˆ’3)2⏟=9β‹…2+36⏟=6Γ·3βˆ’122=βˆ’9β‹…2+6Γ·3βˆ’122\begin{gathered} -\underbrace{(-3)^2}_{= \orange{9}} \cdot 2 + \underbrace{\sqrt{36}}_{= \orange{6}}\div 3 - \frac{12}{2}\\ = -\orange{9} \cdot 2 + \orange{6}\div 3 - \frac{12}{2} \end{gathered}

Onthoud dat een negatief getal kwadrateren (zoals (βˆ’3)2\orange{(-3)^2}), een positief getal oplevert (hier 9\orange{9}). Het minnetje voor de 9\orange{9} in de bovenstaande uitdrukking komt van het minnetje dat helemaal vooraan stond bij βˆ’(βˆ’3)2-\orange{(-3)^2}.

Na de machten en wortels, hebben de vermenigvuldigingen en delingen voorrang. Zo zijn er drie:

βˆ’9β‹…2+6Γ·3βˆ’122\orange{-9 \cdot 2} + \orange{6\div 3} - \orange{\frac{12}{2}}

Herinner je dat een breuk gewoon een deling is van de teller gedeeld door de noemer. De vermenigvuldigingen en delingen uitrekenen geeft:

βˆ’9β‹…2⏟=βˆ’18+6Γ·3⏟=2βˆ’122⏟=6=βˆ’18+2βˆ’6\begin{gathered} \underbrace{-9 \cdot 2}_{= \orange{-18}} + \underbrace{6\div 3}_{= \orange{2}} - \underbrace{\frac{12}{2}}_{= \orange{6}}\\ = \orange{-18} + \orange{2} - \orange{6} \end{gathered}

Er schiet enkel nog een eenvoudig sommetje over met enkel optellingen en aftrekkingen. Die werken we gewoon uit van links naar rechts:

βˆ’18+2βˆ’6=βˆ’22\orange{-18 + 2 - 6} = \orange{-22}

Volledige uitdrukkingen binnen haakjes

Het "leuke" aan haakjes is dat ze volledige uitdrukkingen kunnen bevatten. In het voorgaande voorbeeld bevatten de haakjes nooit echt iets ingewikkelds. Moest er wel een grote uitdrukking in de haakjes zitten, dan pas je op die uitdrukking binnen de haakjes natuurlijk ook gewoon de volgorde van de bewerkingen toe.

Bijvoorbeeld

βˆ’53+βˆ’6+52β‹…22-5^3 + \frac{\sqrt{-6 + 5^2 \cdot 2}}{2}

In de teller staat een uitdrukking op zich:

βˆ’6+52β‹…2\sqrt{-6 + 5^2 \cdot 2}

Hier passen we apart de volgorde van de bewerkingen op toe. Het resultaat stoppen we dan in de oorspronkelijke uitdrukking.

βˆ’6+52⏟=25β‹…2=βˆ’6+25β‹…2⏟=50=βˆ’6+50⏟=44=44β‰ˆ6,63…\begin{aligned} \sqrt{-6 + \underbrace{5^2}_{= 25} \cdot 2} &= \sqrt{-6 + \underbrace{25 \cdot 2}_{= 50}} \\ &= \sqrt{\underbrace{-6 + 50}_{= 44}} \\ &= \sqrt{44} \\ &\approx \orange{6{,}63\ldots} \end{aligned}

De oorspronkelijke uitdrukking wordt dus:

βˆ’53+6,63…2-5^3 + \frac{\orange{6{,}63\ldots}}{2}

Hier kan je weer de volgorde van de bewerkingen op toepassen. Je zult vinden dat de uitdrukking gelijk is aan βˆ’121,6\orange{-121{,}6} (afgerond op 1 cijfer na de komma).

Download deze les als pdf

Hoe duidelijk vond je deze les?

lamp_broken
lamp_off
lamp_on
πŸ‘ˆ Vorige les: De basisbewerkingen van de gehele getallen

Vragen en reacties

Hoe Zit Het? vzw
ON 0736.486.356 RPR Brussel