Vooraleer we aan afgeleiden kunnen beginnen, moeten we het
differentiequotiënt begrijpen. Wat een monster van een woord! 🦕 Maar geen
paniek. We gaan het stap voor stap uitleggen aan de hand van iets waar je wel
al ervaring mee zal hebben: het berekenen van de gemiddelde snelheid.
Gemiddelde snelheid als een breuk van twee verschillen
Maria houdt van dragracen. Bij een dragrace vertrekken twee wagens vanuit
stilstand en racen ze 300m in een rechte lijn. De eerste aan de finish
wint.
De wagens halen enorme snelheden tot meer dan 500km/h. Hieronder zie je
enkele luchtfoto's van Maria in haar Top Fuel dragster tijdens het dragracen.
Stel dat we Maria's gemiddelde snelheid willen berekenen
tussen 1,00s en 3,00s.
Daarvoor moeten we de afgelegde afstand(hoeveel (kilo)meter?) delen door de tijd die nodig was(hoeveel uur of seconden?) om die afstand af te leggen:
gem. snelheid=tijd die nodig wasafgelegde afstand
Wanneer de chronometer op 1,00s stond, was Maria
20m ver. Bij 3,00s, was ze
180m ver. De gemiddelde snelheid tussen
1,00s en 3,00s is dus:
gem. snelheid=tijd die nodig wasafgelegde afstand=3,00s−1,00s180m−20m=2,00s160m=80,0m/s=288km/h
Lekker snel! 🚀
Je ziet dat we voor de afgelegde afstand en de tijd die nodig was telkens een
verschil berekenen. Voor de afstand is dat het verschil tussen de tweede
positie (180m) en de eerste positie
(20m). Voor de tijd is dat het verschil tussen de tweede
tijd (3,00s) en de eerste tijd
(1,00s). Die twee verschillen zetten we vervolgens in een
breuk met in de teller (boven) het verschil van posities en
in de noemer (onder) het
verschil van tijden. We kunnen de formule voor gemiddelde snelheid dus ook als
volgt schrijven:
gem. snelheid=tijd2−tijd1positie2−positie1
Gemiddelde snelheid veralgemenen naar het differentiequotiënt
Stel nu dat we de tijd op de chronometer "x"
noemen. Maria kan op een bepaald tijdstip x natuurlijk maar op één
plaats tegelijk zijn. Met elke tijd x op de chronometer komt dus
hooguit éénpositie overeen. Daarom mogen we zeggen dat
Maria's positie een functie is van de tijd.
Als je niet meer goed weet vanaf wanneer een verband tussen twee variabelen
(zoals positie en tijd) een functie is, kan je altijd onze
les over functies eens nalezen.
We kunnen de positie die overeenkomt met tijdstip x dus de
functiewaarde van x noemen en afkorten als f(x). Wanneer
we op de luchtfoto's de racewagens met elkaar verbinden, zien we inderdaad dat
de posities mooi de grafiek van een functie volgen
waarbij de tijd op de x-as(horizontale as) staat en de
positie op de y-as(verticale as):
We kunnen nu onze formule voor gemiddelde snelheid korter schrijven waarbij we
positie2 en positie1 vervangen door
f(x2) en f(x1)
tijd2 en tijd1 vervangen door
x2 en x1
Zo krijgen we:
x2−x1f(x2)−f(x1)
In de teller (boven) staat f(x2)−f(x1). Daarmee berekenen we het verschil van de functiewaarden van
x2 en x1. De teller zegt zo hoeveel de functiewaarde is veranderd
tussen x1 en x2.
In de noemer (onder) staat dan weer het verschil van die
x2 en x1 zélf. Door te delen door x2−x1
berekenen we de "gemiddelde verandering van de functiewaarde per
x−eenheid(bv. per seconde) tussen x1 en x2" in
plaats van gewoon de "verandering van de functiewaarde tussen x1 en
x2".
We zeggen dat deze formule de gemiddelde verandering van de functiewaarde berekent per x−eenheid tussen x1 en x2.
Het is belangrijk om te weten dat we die formule niet enkel kunnen gebruiken om gemiddelde snelheid te berekenen, maar voor nog veel andere soorten van gemiddelde verandering.
De formule wordt zelfs zo vaak gebruikt, dat ze een eigen naam heeft gekregen: het differentiequotiënt.
Tot slot gaan we het differentiequotiënt nog een tikkeltje korter leren
schrijven. Verschillen als "f(x2)−f(x1)" en
"x2−x1" komen namelijk vaak voor en het is lastig om
die telkens voluit te moeten schrijven. Daarom gaan we zulke verschillen
afkorten. Hiervoor gebruiken we de Griekse hoofdletter Δ (de delta):
f(x2)−f(x1)x2−x1=Δf(x)=Δx
Die "Δ" lijkt wat overweldigend, maar is eigenlijk niets meer dan een
verkorte schrijfwijze. Met behulp van deze Δ, kunnen we het
differentiequotiënt als volgt afkorten:
x2−x1f(x2)−f(x1)=ΔxΔf(x)
Op een grafiek kan je Δf(x) en Δx ook aanduiden:
Je zult het waarschijnlijk niet graag horen, maar er is nog een derde en laatste manier om het differentiequotiënt te schrijven. Daarbij gaan we drie dingen veranderen aan de oorspronkelijke formule van het differentiequotiënt:
Vervang x2−x1 door Δx:
Δxf(x2)−f(x1)
Vervang x2 door x1+Δx:
Δxf(x1+Δx)−f(x1)
Vervang x1 overal door a:
Δxf(a+Δx)−f(a)
Dat ziet er grafisch zo uit:
We hebben nu drie verschillende manieren gezien om het differentiequotiënt te schrijven:
x2−x1f(x2)−f(x1)
ΔxΔf(x)
Δxf(a+Δx)−f(a)
Het is belangrijk om in te zien dat deze alle drie identiek dezelfde berekening maken. De berekening wordt enkel anders verwoord. Kijk dus nog eens extra naar de drie formules voor het differentiequotiënt, bekijk de bijhorende grafieken nogmaals en zorg dat je de gelijkenis begrijpt.
Samengevat
Wat is een differentiequotiënt?
Een differentiequotiënt zegt hoeveel de functiewaarde
gemiddeld per x-eenheid verandert tussen een gekozen
x1 en x2.
Het differentiequotiënt is gedefinieerd als:
x2−x1f(x2)−f(x1)
Door f(x2)−f(x1) te vervangen door Δf(x) en x2−x1 door Δx, kunnen we het differentiequotiënt ook schrijven als:
ΔxΔf(x)
Een andere schrijfwijze vervangt x2−x1 door Δx, f(x2) door f(x1+Δx) en vervangt ten slotte x1 overal door a: