Wat is een differentiequotiënt?

Bron: https://hoezithet.nu/lessen/wiskunde/afgeleiden_1/differentiequotient/

Vooraleer we aan afgeleiden kunnen beginnen, moeten we het differentiequotiënt begrijpen. Wat een monster van een woord! 🦕 Maar geen paniek. We gaan het stap voor stap uitleggen aan de hand van iets waar je wel al ervaring mee zal hebben: het berekenen van de gemiddelde snelheid.

Gemiddelde snelheid als een breuk van twee verschillen

Maria houdt van dragracen. Bij een dragrace vertrekken twee wagens vanuit stilstand en racen ze 300 m300~\si{m} in een rechte lijn. De eerste aan de finish wint.

De wagens halen enorme snelheden tot meer dan 500 km/h500~\si{km/h}. Hieronder zie je enkele luchtfoto's van Maria in haar Top Fuel dragster tijdens het dragracen.

Stel dat we Maria's gemiddelde snelheid willen berekenen tussen 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} en 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}.

Daarvoor moeten we de afgelegde afstand (hoeveel (kilo)meter?) delen door de tijd die nodig was (hoeveel uur of seconden?) om die afstand af te leggen:

gem. snelheid=afgelegde afstandtijd die nodig was\begin{aligned} \text{gem. snelheid} &= \frac{\green{\text{afgelegde afstand} }}{\orange{\text{tijd die nodig was}}}\\ \end{aligned}

Wanneer de chronometer op 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} stond, was Maria 20 m\green{20~\si{m}} ver. Bij 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}, was ze 180 m\green{180~\si{m}} ver. De gemiddelde snelheid tussen 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} en 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}} is dus:

gem. snelheid=afgelegde afstandtijd die nodig was=180 m20 m3,00 s1,00 s=160 m2,00 s=80,0 m/s=288 km/h\begin{aligned} \text{gem. snelheid} &= \frac{\green{\text{afgelegde afstand} }}{\orange{\text{tijd die nodig was}}}\\ &= \frac{\green{180~\si{m}} - \green{20~\si{m}}}{\orange{3{,}00~\si{s}} - \orange{1{,}00~\si{s}}}\\ &= \frac{\green{160~\si{m}}}{\orange{2{,}00~\si{s}}}\\ &= 80{,}0~\si{m/s}\\ &= 288~\si{km/h} \end{aligned}

Lekker snel! 🚀

Je ziet dat we voor de afgelegde afstand en de tijd die nodig was telkens een verschil berekenen. Voor de afstand is dat het verschil tussen de tweede positie (180 m\green{180~\si{m}}) en de eerste positie (20 m\green{20~\si{m}}). Voor de tijd is dat het verschil tussen de tweede tijd (3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}) en de eerste tijd (1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}}). Die twee verschillen zetten we vervolgens in een breuk met in de teller (boven) het verschil van posities en in de noemer (onder) het verschil van tijden. We kunnen de formule voor gemiddelde snelheid dus ook als volgt schrijven:

gem. snelheid=positie2positie1tijd2tijd1\text{gem. snelheid} = \frac{\green{\text{positie}_2} - \green{\text{positie}_1}}{\orange{\text{tijd}_2} - \orange{\text{tijd}_1}}

Gemiddelde snelheid veralgemenen naar het differentiequotiënt

Stel nu dat we de tijd\orange{\text{tijd}} op de chronometer "x\orange{x}" noemen. Maria kan op een bepaald tijdstip x\orange{x} natuurlijk maar op één plaats tegelijk zijn. Met elke tijd x\orange{x} op de chronometer komt dus hooguit één positie\green{\text{positie}} overeen. Daarom mogen we zeggen dat Maria's positie een functie is van de tijd.

Als je niet meer goed weet vanaf wanneer een verband tussen twee variabelen (zoals positie en tijd) een functie is, kan je altijd onze les over functies eens nalezen.

We kunnen de positie die overeenkomt met tijdstip x\orange{x} dus de functiewaarde van x\orange{x} noemen en afkorten als f(x)\green{f(x)}. Wanneer we op de luchtfoto's de racewagens met elkaar verbinden, zien we inderdaad dat de posities mooi de grafiek van een functie volgen waarbij de tijd op de x-as (horizontale as) staat en de positie op de y-as (verticale as):

We kunnen nu onze formule voor gemiddelde snelheid korter schrijven waarbij we

Zo krijgen we:

f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}

We zeggen dat deze formule de gemiddelde verandering van de functiewaarde berekent per xx-eenheid tussen x1\orange{x_1} en x2\orange{x_2}.

Het is belangrijk om te weten dat we die formule niet enkel kunnen gebruiken om gemiddelde snelheid te berekenen, maar voor nog veel andere soorten van gemiddelde verandering. De formule wordt zelfs zo vaak gebruikt, dat ze een eigen naam heeft gekregen: het differentiequotiënt.

Het verschil korter schrijven

Tot slot gaan we het differentiequotiënt nog een tikkeltje korter leren schrijven. Verschillen als "f(x2)f(x1)\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}" en "x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1}" komen namelijk vaak voor en het is lastig om die telkens voluit te moeten schrijven. Daarom gaan we zulke verschillen afkorten. Hiervoor gebruiken we de Griekse hoofdletter Δ\Delta (de delta):

f(x2)f(x1)=Δf(x)x2x1=Δx\begin{aligned} \green{f(x_2)} - \green{f(x_1)} &= \green{\Delta f(x)}\\ \orange{x_2} - \orange{x_1} &= \orange{\Delta x} \end{aligned}

Die "Δ\Delta" lijkt wat overweldigend, maar is eigenlijk niets meer dan een verkorte schrijfwijze. Met behulp van deze Δ\Delta, kunnen we het differentiequotiënt als volgt afkorten:

f(x2)f(x1)x2x1=Δf(x)Δx\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}} = \frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}

Op een grafiek kan je Δf(x)\green{\Delta f(x)} en Δx\orange{\Delta x} ook aanduiden:

Je zult het waarschijnlijk niet graag horen, maar er is nog een derde en laatste manier om het differentiequotiënt te schrijven. Daarbij gaan we drie dingen veranderen aan de oorspronkelijke formule van het differentiequotiënt:

  1. Vervang x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1} door Δx\orange{\Delta x}:

    f(x2)f(x1)Δx\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{\Delta x}}
  2. Vervang x2x_2 door x1+Δxx_1 + \Delta x:

    f(x1+Δx)f(x1)Δx\frac{\green{f(x_1 + \Delta x)} - \green{f(x_1)}}{\orange{\Delta x}}
  3. Vervang x1x_1 overal door aa:

    f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}

Dat ziet er grafisch zo uit:

We hebben nu drie verschillende manieren gezien om het differentiequotiënt te schrijven:

  1. f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}
  2. Δf(x)Δx\frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}
  3. f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}

Het is belangrijk om in te zien dat deze alle drie identiek dezelfde berekening maken. De berekening wordt enkel anders verwoord. Kijk dus nog eens extra naar de drie formules voor het differentiequotiënt, bekijk de bijhorende grafieken nogmaals en zorg dat je de gelijkenis begrijpt.

Samengevat

Wat is een differentiequotiënt?

Een differentiequotiënt zegt hoeveel de functiewaarde\green{\text{functiewaarde}} gemiddeld per x-eenheid\orange{\text{per x-eenheid}} verandert tussen een gekozen x1\orange{x_1} en x2\orange{x_2}.

Het differentiequotiënt is gedefinieerd als:

f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}

Door f(x2)f(x1)\green{f(x_2) - f(x_1)} te vervangen door Δf(x)\green{\Delta f(x)} en x2x1\orange{x_2 - x_1} door Δx\orange{\Delta x}, kunnen we het differentiequotiënt ook schrijven als:

Δf(x)Δx\frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}

Een andere schrijfwijze vervangt x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1} door Δx\orange{\Delta x}, f(x2)\green{f(x_2)} door f(x1+Δx)\green{f(x_1 + \Delta x)} en vervangt ten slotte x1\green{x_1} overal door a\green{a}:

f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}