Wat is een differentiequotiënt?

Toon afdrukbare versie

Vooraleer we aan afgeleiden kunnen beginnen, moeten we het differentiequotiënt begrijpen. Wat een monster van een woord! 🦕 Maar geen paniek. We gaan het stap voor stap uitleggen aan de hand van iets waar je wel al ervaring mee zal hebben: het berekenen van de gemiddelde snelheid.

Gemiddelde snelheid als een breuk van twee verschillen

Maria houdt van dragracen. Bij een dragrace vertrekken twee wagens vanuit stilstand en racen ze 300 m300~\si{m} in een rechte lijn. De eerste aan de finish wint.

Maria racet en is bijna aan de finish.

De wagens halen enorme snelheden tot meer dan 500 km/h500~\si{km/h}. Hieronder zie je enkele luchtfoto's van Maria in haar Top Fuel dragster tijdens het dragracen.

Luchtfoto's van Maria tijdens haar race.

Stel dat we Maria's gemiddelde snelheid willen berekenen tussen 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} en 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}.

Gemiddelde snelheid van Maria tussen 1 s en 3 s berekenen

Daarvoor moeten we de afgelegde afstand delen door de tijd die nodig was om die afstand af te leggen:

gem. snelheid=afgelegde afstandtijd die nodig was\begin{aligned} \text{gem. snelheid} &= \frac{\green{\text{afgelegde afstand} }}{\orange{\text{tijd die nodig was}}}\\ \end{aligned}

Wanneer de chronometer op 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} stond, was Maria 20 m\green{20~\si{m}} ver. Bij 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}, was ze 180 m\green{180~\si{m}} ver. De gemiddelde snelheid tussen 1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}} en 3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}} is dus:

gem. snelheid=afgelegde afstandtijd die nodig was=180 m20 m3,00 s1,00 s=160 m2,00 s=80,0 m/s=288 km/h\begin{aligned} \text{gem. snelheid} &= \frac{\green{\text{afgelegde afstand} }}{\orange{\text{tijd die nodig was}}}\\ &= \frac{\green{180~\si{m}} - \green{20~\si{m}}}{\orange{3{,}00~\si{s}} - \orange{1{,}00~\si{s}}}\\ &= \frac{\green{160~\si{m}}}{\orange{2{,}00~\si{s}}}\\ &= 80{,}0~\si{m/s}\\ &= 288~\si{km/h} \end{aligned}

Lekker snel! 🚀

Je ziet dat we voor de afgelegde afstand en de tijd die nodig was telkens een verschil berekenen. Voor de afstand is dat het verschil tussen de tweede positie (180 m\green{180~\si{m}}) en de eerste positie (20 m\green{20~\si{m}}). Voor de tijd is dat het verschil tussen de tweede tijd (3,00 s\orange{3{,}00~\si{s}}) en de eerste tijd (1,00 s\orange{1{,}00~\si{s}}). Die twee verschillen zetten we vervolgens in een breuk met in de teller (boven) het verschil van posities en in de noemer (onder) het verschil van tijden. We kunnen de formule voor gemiddelde snelheid dus ook als volgt schrijven:

gem. snelheid=positie2positie1tijd2tijd1\text{gem. snelheid} = \frac{\green{\text{positie}_2} - \green{\text{positie}_1}}{\orange{\text{tijd}_2} - \orange{\text{tijd}_1}}

Gemiddelde snelheid veralgemenen naar het differentiequotiënt

Stel nu dat we de tijd\orange{\text{tijd}} op de chronometer "x\orange{x}" noemen. Maria kan op een bepaald tijdstip x\orange{x} natuurlijk maar op één plaats tegelijk zijn. Met elke tijd x\orange{x} op de chronometer komt dus hooguit één positie\green{\text{positie}} overeen. Daarom mogen we zeggen dat Maria's positie een functie is van de tijd.

Als je niet meer goed weet vanaf wanneer een verband tussen twee variabelen (zoals positie en tijd) een functie is, kan je altijd onze les over functies eens nalezen.

We kunnen de positie die overeenkomt met tijdstip x\orange{x} dus de functiewaarde van x\orange{x} noemen en afkorten als f(x)\green{f(x)}. Wanneer we op de luchtfoto's de racewagens met elkaar verbinden, zien we inderdaad dat de posities mooi de grafiek van een functie volgen waarbij de tijd op de x-as (horizontale as) staat en de positie op de y-as (verticale as):

De positie van Maria als functie van de tijd

We kunnen nu onze formule voor gemiddelde snelheid korter schrijven waarbij we

  • positie2\green{\text{positie}_2} en positie1\green{\text{positie}_1} vervangen door f(x2)\green{f(x_2)} en f(x1)\green{f(x_1)}
  • tijd2\orange{\text{tijd}_2} en tijd1\orange{\text{tijd}_1} vervangen door x2\orange{x_2} en x1\orange{x_1}

Zo krijgen we:

f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}
  • In de teller (boven) staat f(x2)f(x1)\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}. Daarmee berekenen we het verschil van de functiewaarden van x2x_2 en x1x_1. De teller zegt zo hoeveel de functiewaarde is veranderd tussen x1x_1 en x2x_2.
  • In de noemer (onder) staat dan weer het verschil van die x2x_2 en x1x_1 zélf. Door te delen door x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1} berekenen we de "gemiddelde verandering van de functiewaarde per xx-eenheid (bv. per seconde) tussen x1x_1 en x2x_2" in plaats van gewoon de "verandering van de functiewaarde tussen x1x_1 en x2x_2".

Stel dat je de gemiddelde score wilt berekenen die de leerlingen van een bepaalde klas haalden op een test. Dan ga je alle punten optellen en delen door het totaal aantal testen. Door te delen door het totaal aantal testen, krijg je de gemiddelde score per test.

Op dezelfde manier krijgen we de gemiddelde verandering van de functiewaarde per xx-eenheid door te delen door x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1}.

We zeggen dat deze formule de gemiddelde verandering van de functiewaarde berekent per xx-eenheid tussen x1\orange{x_1} en x2\orange{x_2}.

Toon uitleg

Het is belangrijk om te weten dat we die formule niet enkel kunnen gebruiken om gemiddelde snelheid te berekenen, maar voor nog veel andere soorten van gemiddelde verandering. De formule wordt zelfs zo vaak gebruikt, dat ze een eigen naam heeft gekregen: het differentiequotiënt.

Nu denk je misschien: "Een differ-watte?! 🤨" Waar komt die naam vandaan? Het woord bestaat uit twee stukken:

  1. differentie-: moeilijk woord voor een aftrekking of verschil, denk maar aan het Engelse woord difference. Dit wijst erop dat er een verschil wordt berekend in de teller en noemer.
  2. -quotiënt: moeilijk woord voor een deling of een breuk. Dit wijst op het feit dat het ene verschil wordt gedeeld door het andere.

Het verschil korter schrijven

Tot slot gaan we het differentiequotiënt nog een tikkeltje korter leren schrijven. Verschillen als "f(x2)f(x1)\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}" en "x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1}" komen namelijk vaak voor en het is lastig om die telkens voluit te moeten schrijven. Daarom gaan we zulke verschillen afkorten. Hiervoor gebruiken we de Griekse hoofdletter Δ\Delta (de delta):

f(x2)f(x1)=Δf(x)x2x1=Δx\begin{aligned} \green{f(x_2)} - \green{f(x_1)} &= \green{\Delta f(x)}\\ \orange{x_2} - \orange{x_1} &= \orange{\Delta x} \end{aligned}

Die "Δ\Delta" lijkt wat overweldigend, maar is eigenlijk niets meer dan een verkorte schrijfwijze. Met behulp van deze Δ\Delta, kunnen we het differentiequotiënt als volgt afkorten:

f(x2)f(x1)x2x1=Δf(x)Δx\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}} = \frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}

Op een grafiek kan je Δf(x)\green{\Delta f(x)} en Δx\orange{\Delta x} ook aanduiden:

Delta f(x) en Delta x aangeduid op een grafiek.

Je zult het waarschijnlijk niet graag horen, maar er is nog een derde en laatste manier om het differentiequotiënt te schrijven. Daarbij gaan we drie dingen veranderen aan de oorspronkelijke formule van het differentiequotiënt:

  1. Vervang x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1} door Δx\orange{\Delta x}:

    f(x2)f(x1)Δx\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{\Delta x}}
  2. Vervang x2x_2 door x1+Δxx_1 + \Delta x:

    f(x1+Δx)f(x1)Δx\frac{\green{f(x_1 + \Delta x)} - \green{f(x_1)}}{\orange{\Delta x}}
  3. Vervang x1x_1 overal door aa:

    f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}

Dat ziet er grafisch zo uit:

Delta f(a + Delta x) en Delta x aangeduid op een grafiek.

We hebben nu drie verschillende manieren gezien om het differentiequotiënt te schrijven:

  1. f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}
  2. Δf(x)Δx\frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}
  3. f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}

Het is belangrijk om in te zien dat deze alle drie identiek dezelfde berekening maken. De berekening wordt enkel anders verwoord. Kijk dus nog eens extra naar de drie formules voor het differentiequotiënt, bekijk de bijhorende grafieken nogmaals en zorg dat je de gelijkenis begrijpt.

Samengevat

Wat is een differentiequotiënt?

Een differentiequotiënt zegt hoeveel de functiewaarde\green{\text{functiewaarde}} gemiddeld per x-eenheid\orange{\text{per x-eenheid}} verandert tussen een gekozen x1\orange{x_1} en x2\orange{x_2}.

Het differentiequotiënt is gedefinieerd als:

f(x2)f(x1)x2x1\frac{\green{f(x_2)} - \green{f(x_1)}}{\orange{x_2} - \orange{x_1}}

Door f(x2)f(x1)\green{f(x_2) - f(x_1)} te vervangen door Δf(x)\green{\Delta f(x)} en x2x1\orange{x_2 - x_1} door Δx\orange{\Delta x}, kunnen we het differentiequotiënt ook schrijven als:

Δf(x)Δx\frac{\green{\Delta f(x)}}{\orange{\Delta x}}

Een andere schrijfwijze vervangt x2x1\orange{x_2} - \orange{x_1} door Δx\orange{\Delta x}, f(x2)\green{f(x_2)} door f(x1+Δx)\green{f(x_1 + \Delta x)} en vervangt ten slotte x1\green{x_1} overal door a\green{a}:

f(a+Δx)f(a)Δx\frac{\green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)}}{\orange{\Delta x}}
Toon afdrukbare versie

Hoe duidelijke vond je deze les?

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.

Vragen en reacties