Tekenschema

Bron: https://hoezithet.nu/lessen/wiskunde/functies/tekenschema/

Naast het kennen van de nulpunten van een functie, is het ook vaak nuttig om te weten welke waarde we moeten kiezen voor xx zodat f(x)f(x) positief of negatief is. Deze informatie vatten we overzichtelijk samen in een tekenschema.

Tekenschema vanuit een grafiek

Welke x-waarden welk teken (positief/negatief/nul) opleveren voor de y-waarden, vatten we samen in een tekenschema . Als de grafiek van een functie is gegeven, kunnen we zien waar de functiewaarden positief, negatief of nul zijn.

We zien op de grafiek:

Dit vatten we als volgt samen in een tekenschema:

Ingang xx-\infty3-333++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)\red{-}0\blue{0}+\green{+}0\blue{0}\red{-}

Het schema toont:

Tekenschema zonder grafiek

We kunnen een tekenschema ook maken zonder een grafiek. Dit doen we in drie stappen.

  1. Zet de grenzen van het domein in de bovenste rij van het tekenschema;
  2. Zoek alle nulpunten en zet ze van klein naar groot (volgens x-waarde) tussen de grenzen van het domein;
  3. Vind de tekens van yy tussen alle x-waarden in het schema (tenzij die x-waarden buiten het domein liggen).

We werken deze stappen uit voor de (reële) functie met voorschrift

f(x)=x2+9f(x) = -x^2 + 9

Dit is de functie die hoort bij de grafiek van daarnet. We hopen dus ook hetzelfde tekenschema te krijgen.

Grenzen van het domein

We kunnen van eender welk reëel getal het kwadraat berekenen, dus we kunnen f(x)=x2+9f(x) = -x^2 + 9 voor elk reëel getal xx berekenen. Dit betekent dat het domein van ff alle reële getallen bevat:

domf=Rdom f = \mathbb{R}

Als interval geschreven is dit

domf=],+[dom f = \left] -\infty, +\infty \right[%]

De grenzen van het domein zijn dus -\infty en ++\infty. Die zetten we op de bovenste rij van het tekenschema:

Ingang xx-\infty++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)

Nulpunten zoeken

We vinden de nulwaarden van de functie f(x)=x2+9f(x) = -x^2 + 9 door de vergelijking

x2+9=0-x^2 + 9 = 0

op te lossen naar xx. Als je dat zou doen, vind je dat x=3x=-3 en x=3x=3 de nulwaarden zijn van deze functie ff. De nulpunten zijn dus (3, 0)(-3,~\blue{0}) en (3, 0)(3,~\blue{0}). We zetten deze nulpunten gerangschikt in het tekenschema:

Ingang xx-\infty3-333++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)0\blue{0}0\blue{0}

Tekens van yy tussen alle x-waarden

Om het tekenschema te vervolledigen, moeten we op zoek naar welk teken er moet staan bij yy tussen alle x-waarden die in het schema staan. Dus tussen -\infty en 3-3, tussen 3-3 en 33, en tussen 33 en ++\infty. Een trucje dat altijd werkt is:

  1. Kies een eenvoudige x-waarde die ligt tussen de twee x-waarden;
  2. Vul de gekozen x-waarde in in de functie;
  3. Zet het teken van de uitkomst in het tekenschema.

Bijvoorbeeld het teken van yy voor xx tussen 3-3 en 33. Een eenvoudig getal dat ligt tussen 3-3 en 33 is 00. Die vullen we in in f(x)=x2+9f(x) = -x^2 + 9:

f(0)=(0)2+9=9f(\orange{0}) = -(\orange{0})^2 + 9 = \green{9}

We komen een positief getal uit, dus we zetten een +\green{+} tussen 3-3 en 33:

Ingang xx-\infty3-333++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)0\blue{0}+\green{+}0\blue{0}

Voor een x-waarde tussen -\infty en 3-3, kunnen we 5-5 nemen.

f(5)=(5)2+9=25+9=16f(\orange{-5}) = -(\orange{-5})^2 + 9 = -25 + 9 = \red{-16}

Invullen geeft een negatief getal, dus we zetten een \red{-} tussen -\infty en 3-3:

Ingang xx-\infty3-333++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)\red{-}0\blue{0}+\green{+}0\blue{0}

Voor een x-waarde tussen 33 en ++\infty, ten slotte, kunnen we 55 nemen.

f(5)=(5)2+9=25+9=16f(\orange{5}) = -(\orange{5})^2 + 9 = -25 + 9 = \red{-16}

Invullen geeft een negatief getal, dus we zetten een \red{-} tussen 33 en ++\infty:

Ingang xx-\infty3-333++\infty
Uitgang y=f(x)y = f(x)\red{-}0\blue{0}+\green{+}0\blue{0}\red{-}

Et voilà! 💪 We krijgen hetzelfde tekenschema als daarnet.

Enkel nulpunten en grenzen van domein

De x-waarden die in een tekenschema staan (de bovenste rij), zijn ofwel nulwaarden (3-3 en 33 in het vorige voorbeeld) ofwel grenzen van het domein (-\infty en ++\infty in het voorbeeld). Er zijn geen andere x-waarden nodig. Dat is omdat het teken van yy enkel kan veranderen na een nulpunt of na een grens van het domein.

Voor echt heel speciale functies kan het teken ook na andere x-waarden veranderen, namelijk na een discontinuïteit. Zulke functies zullen we niet zo vaak tegenkomen, dus is het niet de moeite om er nu verder op in te gaan. Zorgen voor later! 👋

Samengevat

Tekenschema

Het tekenschema van een functie ff toont schematisch het teken van yy voor alle x-waarden die in het domein van ff zitten.

Tekenschema opstellen

  1. Zet de grenzen van het domein in het tekenschema;
  2. Zoek alle nulpunten en zet ze tussen de grenzen van het domein;
  3. Vind de tekens van yy tussen alle x-waarden in het schema.

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.