Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie

Inhoud

Voorbeeld: Nulpunt bepalen van een eerstegraadsfunctie
Algemene formule voor het nulpunt van een eerstegraadsfunctie
Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie aflezen op een grafiek
Samengevat

De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden waar de functie gelijk is aan nul. Stel dat de volgende eerstegraadsfunctie gegeven is:

f(x) = 2x + 6

Dan is $-3$ een nulwaarde van $f(x)$ , aangezien

\begin{aligned} f\left(\orange{-3}\right) &= 2\cdot(\orange{-3}) + 6\\ &= -6 + 6\\ &= 0 \end{aligned}

We noemen $\left(-3, 0\right)$ een nulpunt van $f$ . Maar hoe zijn we aan die $-3$ gekomen? Is $-3$ de enige nulwaarde van $f$ of zijn er nog andere?

Voorbeeld: Nulpunt bepalen van een eerstegraadsfunctie

De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden die als functiewaarde $0$ hebben. Stel dat $a$ een nulwaarde is van de functie $f(x) = 2x + 6$ . We kunnen de functiewaarde van een getal altijd vinden door dat getal in te vullen in het functievoorschrift. Voor $a$ wordt dat:

f(\orange{a}) = 2\orange{a} + 6

Als $a$ een nulwaarde is van $f(x)$ , dan moet de functiewaarde van $a$ echter gelijk zijn aan $0$ :

\begin{aligned} \underbrace{f(\orange{a})}_{= 0} = 2\orange{a} + 6 \end{aligned}

Hieruit volgt dat

2a + 6 = 0

Dit is een vergelijking van de eerste graad in $a$ . We kunnen dit oplossen naar $a$ :

\begin{aligned} 2a + 6 &= 0\\ &\Updownarrow\\ 2a &= -6\\ &\Updownarrow\\ a &= \frac{-6}{2}\\ &\Updownarrow\\ a &= -3 \end{aligned}

Hieruit volgt dat de functie $f(x) = 2x + 6$ juist één nulwaarde heeft, namelijk $-3$ . Het enige nulpunt van deze functie is dus $\left(-3, 0\right)$ .

Algemene formule voor het nulpunt van een eerstegraadsfunctie

We gaan nu een formule zoeken om het nulpunt van eender welke eerstegraadsfunctie te berekenen zonder dat je een vergelijking moet oplossen zoals we in de vorige paragraaf deden. We weten dat iedere eerstegraadsfunctie geschreven kan worden als

f(x) = mx + q

met $m\in\RR_0$ en $q\in\RR$ . We weten ook dat de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie het getal is waarvan de functiewaarde gelijk is aan $0$ . Als $a$ de nulwaarde is van de functie $f$ , dan moet $f(a)$ dus gelijk zijn aan nul:

\underbrace{f(\orange{a})}_{=0} = m\cdot\orange{a} + q

Hieruit volgt dat

m\cdot a + q = 0

Deze vergelijking kunnen we oplossen naar $a$ :

\begin{aligned} m\cdot a + q &= 0\\ &\Updownarrow\\ m\cdot a &= -q\\ &\Updownarrow\\ a &= \frac{-q}{m}\\ \end{aligned}

De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie is dus altijd gelijk aan $\frac{-q}{m}$ .

💡 Formule voor de nulwaarde en het nulpunt van een eerstegraadsfunctie

De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie met voorschrift $f(x) = mx + q$ is gelijk aan

\frac{-q}{m}

Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie is dus altijd $\left(\frac{-q}{m}, 0\right)$ .

Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie aflezen op een grafiek

Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie $f(x)$ kan je aflezen op de grafiek van $f$ door te zoeken naar het punt waar de grafiek de x-as snijdt. In de onderstaande figuur hebben we de grafiek van de eerstegraadsfunctie $f(x) = 2x+6$ getekend en hebben we het nulpunt van de functie aangeduid met een oranje stip.

m = 2

q = 6

Met de sliders kan je $m$ en $q$ aanpassen zodat je een nieuwe functie krijgt. Je ziet dat de nulwaarde van de functie altijd gelijk is aan $\frac{-q}{m}$ .