Wat is een functie van de eerste graad?

Download deze les als pdf

Wanneer je de eerste keer leert over functies, kan dat allemaal nogal abstract klinken. Op het eerste zicht is het niet zo duidelijk waarom zoiets bestaat en hoe iemand ooit op het idee is gekomen om dat te verzinnen... 🤨

Dat gevoel is heel normaal en is zelfs vollédig terecht, want functies zijn abstract. En dat is precies waarom ze zo interessant en héél breed toepasbaar zijn! 🙌 Functies, en zo ook eerstegraadsfuncties, zijn een mooi voorbeeld van het hele idee achter wiskunde: we willen een onderliggende werking (die bij vele toepassingen hetzelfde is) blootleggen en bestuderen. Door de eigenschappen van die onderliggende werking te ontdekken, ontdekken we dan meteen ook eigenschappen van àl die toepassingen! 💃

Voorbeelden van eerstegraadsfuncties

Laat ons dit even illustreren aan de hand van twee voorbeelden... 👨‍🎨

Voorbeeld 1: Dirk naar het festival 🤘

Dirk gaat volgende week naar een muziekfestival en is in onderhandeling met Maria over hoeveel geld hij mag meenemen.

Dirk drinkt al eens graag een goed glas melk wanneer hij op een festivalweide staat. Hij wil dan ook liefst zoveel mogelijk glazen melk kunnen drinken.

HZH METAL FEST

Een toegangsticket voor het festival bedraagt €25 en voor een glas melk vraagt het festival €3. Dirk zou graag willen weten welk budget hij met Maria moet onderhandelen om een bepaald aantal glazen melk te kunnen drinken op het festival.

We weten dat Dirk al minstens €25 nodig zal hebben om het toegangsticket te kunnen betalen. Maar dan heeft hij nog geen enkel glas melk natuurlijk. Voor elk glas melk dat hij wil drinken, komt er €3 bovenop die €25. Het budget dat hij moet onderhandelen is dus €25 plus het aantal glazen melk dat hij wil drinken maal de prijs van een glas melk:

budget=(3 per glas melkaantal glazen melk)+25\text{budget} = \left(\euro 3~\text{per glas melk}\cdot \text{aantal glazen melk}\right) + \euro 25

Als Dirk bijvoorbeeld 5\orange{5} glazen melk wil drinken, dan zal hij een budget van (35)+25=40(\euro 3\cdot \orange{5}) + \euro 25 = \euro 40 nodig hebben.

We kunnen wat schrijfwerk besparen door de formule als volgt te schrijven:

€3 extra per glas
€25 bij 0 glazen
benodigd budget
aantal glazen melk

Voorbeeld 2: Maria eet pralines

Maria is dol van pralines. Ze toonde dan ook met plezier haar groot hart toen de lokale gymclub haar vorige week vroeg om hen te steunen door chocolade zeevruchten te kopen. 🤤 Ze kocht meteen een grote doos van 1 kg1~\si{kg}. Zo'n doos bevat 64 pralines.

Hoezidas1 kgMaitre Chocolatier

Maria weet natuurlijk wel dat ze die hele doos best niet op één dag naar binnen speelt. Ze heeft dan ook besloten om elke dag slechts 4 pralines te eten. Na enkele dagen vraagt ze zich af hoeveel pralines er nog in de doos zitten. Hoe kan ze dit berekenen?

Er zitten oorspronkelijk 6464 pralines in de doos en er gaan er iedere dag 44 uit. Het aantal pralines dat op een bepaalde dag nog in de doos zit, is dus gelijk aan 6464 min het aantal dagen maal 44:

aantal pralines in doos=64 pralinesaantal dagen4 pralines per dag\text{aantal pralines in doos} = 64~\si{pralines} - \text{aantal dagen}\cdot 4~\text{pralines per dag}

Dit kunnen we herschrijven als:

aantal pralines in doos=64 pralines+(4 pralines per dagaantal dagen)\text{aantal pralines in doos} = 64~\si{pralines} + \left(- 4~\text{pralines per dag}\cdot\text{aantal dagen}\right)

Dit is dan weer hetzelfde als:

aantal pralines in doos=(4 pralines per dagaantal dagen)+64 pralines\text{aantal pralines in doos} = \left(-4~\text{pralines per dag}\cdot\text{aantal dagen}\right) + 64~\si{pralines}

Na bijvoorbeeld 5\orange{5} dagen zullen er nog (45)+64=44(-4\cdot \orange{5}) + 64 = 44 pralines in de doos zitten.

We kunnen weer wat schrijfwerk besparen door de formule als volgt te schrijven:

4 pralines minder per dag
64 pralines op dag 0
aantal pralines in doos
aantal dagen ver

Voorbeeld 3: Bevroren soep ontdooien

Maria en Dirk maken regelmatig een grote kom soep die ze verdelen in verschillende potjes om in te vriezen. Zo'n potje hoeven ze dan enkel terug op te warmen om te kunnen genieten van een heerlijke en gezonde portie soep.

Wanneer ze zo'n portie uit de diepvriezer halen, heeft de soep een temperatuur van 18C-18\deg\si{C}. Ze plaatsen de portie soep in de microgolfoven. Deze laat de temperatuur van de soep stijgen met 6C6\deg\si{C} per minuut. Wat is de temperatuur van de soep nadat die een bepaald aantal minuten in de microgolfoven heeft gestaan?

De temperatuur van de soep bedraagt in het begin 18C-18\deg \si{C}. Iedere minuut komt daar 6C6\deg \si{C} bij. De temperatuur van de soep is dus gelijk aan 18C-18\deg \si{C} plus het aantal minuten maal 6C6\deg \si{C}:

temperatuur van soep=18C+(aantal minuten6C per minuut)\text{temperatuur van soep} = -18\deg\si{C} + \left(\text{aantal minuten}\cdot 6\deg\si{C}~\text{per minuut}\right)

Dit kunnen we ook schrijven als:

temperatuur van soep=(6C per minuutaantal minuten)18C\text{temperatuur van soep} = \left(6\deg\si{C}~\text{per minuut}\cdot \text{aantal minuten}\right) - 18\deg\si{C}

Dat is dan weer hetzelfde als:

temperatuur van soep=(6C per minuutaantal minuten)+(18C)\text{temperatuur van soep} = \left(6\deg\si{C}~\text{per minuut}\cdot \text{aantal minuten}\right) + (- 18\deg\si{C})

Of, in symbolen:

6°C meer per minuut
-18°C in het begin
temperatuur van soep
aantal minuten opgewarmd

Algemene vorm van een eerstegraadsfunctie

Bij het eerste voorbeeld vonden we de volgende uitdrukking:

y=3x+25y = 3 x + 25

Bij het tweede voorbeeld kwamen we uit bij:

y=4x+64y = -4 x + 64

Bij het derde voorbeeld kregen we:

y=6x+(18)y = 6 x + (-18)

Als je deze uitdrukkingen naast elkaar legt, zie je dat ze een heel gelijkaardige vorm hebben. We rekenen telkens een yy uit door een xx te vermenigvuldigen met een bepaald getal en daar dan een ander (al dan niet negatief) getal bij op te tellen. Als we het eerste getal vervangen door een mm en het tweede getal door een qq, dan krijgen we:

y=mx+qy = m x + q

Oefening NaN

Waaraan zijn mm en qq gelijk in y=7x+6y = -7\cdot x+6?

Er zijn talloze situaties waar we een yy kunnen uitrekenen met een xx via y=mx+qy=m x + q. Dat komt zelfs zo vaak voor dat we er een speciale naam aan geven: eerstegraadsfuncties.

Merk op dat we vaak in plaats van die yy ook wel f(x)f(x) schrijven:

f(x)=mx+qf(x) = m x + q

Met die xx tussen haakjes achter de ff bedoelen we dan dat de functie ff afhangt van xx (en niet dat ff vermenigvuldigd wordt met xx!). We noemen f(x)=mx+qf(x) = m x + q het voorschrift van ff. We definiëren een eerstegraadsfunctie dan als volgt:

💡 Eerstegraadsfunctie in xx

Een functie f(x)f(x) is een eerstegraadsfunctie in xx als en slechts als haar functievoorschrift geschreven kan worden als

f(x)=mx+qf(x) = mx + q

Hierbij zijn mR0m\in\RR_0 en qRq\in\RR.

We gebruiken de naam eerstegraadsfunctie omdat de hoogste macht van xx in mx+qmx + q gelijk is aan 11. We noemen mx+qmx + q ook wel een veelterm van de eerste graad in xx.

⚠️ Opgelet: mm en qq zijn géén variabelen!

Al die letters in y=mx+qy = mx + q kunnen nogal verwarrend zijn. De letters mm en qq hebben echter een heel andere rol dan xx en yy! De letters xx en yy zijn variabelen en hebben geen vaste waarde voor een bepaalde functie. In het eerste voorbeeld zochten we het verband tussen een aantal glazen melk (xx) en een totaalbudget (yy). We kunnen dat verband voor eender welk aantal glazen melk gebruiken. We kunnen veel verschillende waarden kiezen voor xx, waar dan ook veel verschillende waarden voor yy uit zullen volgen. De prijs per glas melk (mm) en de prijs voor een toegangsticket (qq) liggen echter vast. Zij bepalen hoe de functie zich zal gedragen, bv. in welke mate het budget stijgt per extra glas melk. We noemen mm en qq ook wel de parameters van de eerstegraadsfunctie.

Uitbreiding: Waarom moet mm verschillend zijn van 00?

Als mm gelijk zou zijn aan nul, dan is ook mx=0m\cdot x=0 en dan wordt f(x)=0+qf(x)=0+q of korter f(x)=qf(x)=q. We hebben dan geen xx meer in ons functievoorschrift. De hoogste graad van xx is dan niet meer één, maar nul. f(x)f(x) is dus geen eerstegraadsfunctie meer, maar een nuldegraadsfunctie of een constante functie.

Oefening NaN

Is f(x)=5+xf(x) = -5 + x een eerstegraadsfunctie in xx? Zo ja, waaraan zijn mm en qq gelijk? (Noteer dit zelf op papier)

Intuïtie achter functies van de eerste graad

Hoe komt het dat de voorbeelden van Dirk die naar een festival gaat, van Maria die pralines eet en van bevroren soep die opgewarmd wordt allemaal leiden tot een functie van de eerste graad? Wel, per extra glas melk kwam er een vast bedrag van €3 bij het *budget bij; per extra dag ging er een vast aantal pralines uit de doos; en per extra minuut kwam er een vast aantal graden Celsius bij de begintemperatuur bij. Elke situatie waar er voor elke extra xx een vast aantal weggaat of bijkomt bij een beginaantal kunnen we wiskundig beschrijven met een eerstegraadsfunctie. Het vast aantal dat per xx weggaat of bijkomt, is mm. Het beginaantal (wanneer x=0x = 0), is qq.

Je ziet dat we met onze eerstegraadsfunctie inderdaad de onderliggende werking (waar we het in het begin van de les over hadden) blootleggen.

Een functie van de eerste graad herkennen en omzetten naar y=mx+qy = mx + q

Elke situatie waar er een vast aantal per xx weggaat of bijkomt bij een beginaantal (wanneer x=0x = 0), gedraagt zich als een eerstegraadsfunctie. In het volgende kader vatten we samen hoe je in een opgave kan herkennen dat het om een eerstegraadsfunctie gaat en hoe je vervolgens het voorschrift kan vinden van die eerstegraadsfunctie.

💡 Een functie van de eerste graad herkennen en omzetten naar y=mx+qy = mx + q
  1. Zoek de betekenis van xx en yy: Vraag je eerst af welke grootheden van elkaar afhangen. Is het een prijs die afhankelijk is van een aantal gekochte producten? Is het een afstand die afhangt van de tijd? Is het een omtrek die afhangt van de lengte van een gekozen zijde? ... Dit geeft de betekenis van yy en xx: yy is de grootheid die afhankelijk is van xx.
  2. Bepaal of yy een eerstegraadsfunctie is van xx: Ga na of er per xx een vaste hoeveelheid bijkomt bij (of weggaat van) yy. Is dit zo, dan is yy een eerstegraadsfunctie van xx, anders niet.
  3. Bepaal mm: Als yy een eerstegraadsfunctie is van xx, bepaal dan hoeveel er bij yy bijkomt (of van afgaat) wanneer xx één eenheid groter wordt. Dit is mm.
  4. Bepaal qq: Zoek waaraan yy gelijk is als xx gelijk is aan nul. Dit is qq.

We hebben ook een aparte les over hoe je het voorschrift van een eerstegraadsfunctie kan berekenen waar we iets dieper hierop ingaan.

Probeer het voorgande nu zelf toe te passen op de volgende oefeningen.

Oefening NaN

Maria rijdt met haar Segway een constante snelheid van 300300 meter per minuut. Ze vertrekt van bij haar thuis en volgt de hele tijd een rechte baan. Bepaal een formule die aangeeft hoeveel meter ze van huis is na een bepaald aantal minuten rijden. Is dit een eerstegraadsfunctie?

(Noteer je antwoord zelf op papier.)

Oefening NaN

Is yy een eerstegraadsfunctie van xx?

Het totaalbedrag yy dat je moet betalen na een taxirit van xx minuten. Iedere minuut komt er 30 eurocent bij het starttarief van 3 euro bij.

Samengevat

💡 Eerstegraadsfunctie in xx

Een functie f(x)f(x) is een eerstegraadsfunctie in xx als en slechts als haar functievoorschrift geschreven kan worden als

f(x)=mx+qf(x) = mx + q

Hierbij zijn mR0m\in\RR_0 en qRq\in\RR.

💡 Een functie van de eerste graad herkennen en omzetten naar y=mx+qy = mx + q
  1. Zoek de betekenis van xx en yy: Vraag je eerst af welke grootheden van elkaar afhangen. Is het een prijs die afhankelijk is van een aantal gekochte producten? Is het een afstand die afhangt van de tijd? Is het een omtrek die afhangt van de lengte van een gekozen zijde? ... Dit geeft de betekenis van yy en xx: yy is de grootheid die afhankelijk is van xx.
  2. Bepaal of yy een eerstegraadsfunctie is van xx: Ga na of er per xx een vaste hoeveelheid bijkomt bij (of weggaat van) yy. Is dit zo, dan is yy een eerstegraadsfunctie van xx, anders niet.
  3. Bepaal mm: Als yy een eerstegraadsfunctie is van xx, bepaal dan hoeveel er bij yy bijkomt (of van afgaat) wanneer xx één eenheid groter wordt. Dit is mm.
  4. Bepaal qq: Zoek waaraan yy gelijk is als xx gelijk is aan nul. Dit is qq.
Download deze les als pdf

Hoe duidelijk vond je deze les?

lamp_broken
lamp_off
lamp_on
Volgende les: De grafiek van een eerstegraadsfunctie 👉

Vragen en reacties

Hoe Zit Het? vzw
ON 0736.486.356 RPR Brussel