Afleidbaarheid van een functie

Toon afdrukbare versie

We hebben al geleerd hoe we de ogenblikkelijke verandering, of de afgeleide, in een punt x=ax = a kunnen berekenen:

f(a)=limΔx0f(a+Δx)f(a)Δx f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \green{f(a + \Delta x)} - \green{f(a)} }{\orange{\Delta x}}

Komt deze formule wat uit de lucht gevallen voor jou? 🤨 Lees dan zeker onze les over het berekenen van de afgeleide in een punt en onze les over het differentiequotiënt eens na.

We hebben ons echter nooit afgevraagd of die afgeleide wel altijd berekend kan worden. In deze les leren we over de afleidbaarheid van een functie. We gaan zien dat sommige (meestal vrij exotische) functies niet voor elke keuze van x=ax = a kunnen afgeleid worden.

Linker- en rechterlimiet, wat was dat weer?

Voor we over afleidbaarheid van een functie beginnen, moeten we eerst weten wat een linker- en rechterlimiet weer zijn. De limiet in onze formule voor het berekenen van de afgeleide van f(x)f(x) in x=ax = a laat Δx\Delta x naar 00 gaan:

f(a)=limΔx0f(a+Δx)f(a)Δx \gray{f'(a) = \orange{\lim_{\Delta x \to 0}} \frac{ f(a + \Delta x) - f(a) }{\Delta x}}

Er zijn echter twee manieren om Δx\Delta x naar 00 te laten gaan:

  • We kunnen Δx\Delta x kleiner houden dan 00 en dichter en dichter naar 00 laten gaan
  • Of we kunnen Δx\Delta x groter houden dan 00 en dichter en dichter naar 00 laten gaan.
Δx<0\Delta x < 0Δx>0\Delta x > 0
0,1-0{,}10,10{,}1
0,01-0{,}010,010{,}01
0,001-0{,}0010,0010{,}001
0,0001-0{,}00010,00010{,}0001
0,00001-0{,}000010,000010{,}00001
\ldots\ldots

We zien dat in zowel de linker- als rechterkolom de getallen steeds dichter en dichter bij 00 komen.

  • Wanneer we Δx\Delta x kleiner houden dan 00, zeggen we dat we de linkerlimiet berekenen (omdat we van links naar 00 gaan). Dit schrijven we als
    limΔx<0\lim_{\Delta x \lt{\to} 0}
    Let op het kleiner dan-teken (<\lt) onder de pijl van de limiet.
  • Wanneer we Δx\Delta x groter houden dan 00, zeggen we dat we de rechterlimiet berekenen (omdat we van rechts naar 00 gaan). Dit schrijven we als
    limΔx>0\lim_{\Delta x \gt{\to} 0}
    Let op het groter dan-teken (>\gt) onder de pijl van de limiet.

In veel gevallen zal je voor de linker- en rechterlimiet hetzelfde vinden. Wanneer de linker- en rechterlimiet aan elkaar gelijk zijn, zeggen we dat de limiet zelf bestaat.

Linker- en rechterafgeleide

Net als de linker- en rechterlimiet, is er ook een linker- en rechterafgeleide:

  • De linkerafgeleide in x=ax = a is de afgeleide die je krijgt door de linkerlimiet te berekenen:

    limΔx<0f(a+Δx)f(a)Δx \gray{\orange{\lim_{\Delta x \lt{\to} 0}} \frac{ f(a + \Delta x) - f(a) }{\Delta x}}
  • De rechterafgeleide in x=ax = a is de afgeleide die je krijgt door de rechterlimiet te berekenen:

    limΔx>0f(a+Δx)f(a)Δx \gray{\orange{\lim_{\Delta x \gt{\to} 0}} \frac{ f(a + \Delta x) - f(a) }{\Delta x}}

Of de linker- en/of rechterafgeleide bestaat en of ze gelijk zijn aan elkaar, bepaalt de afleidbaarheid van de functie in x=ax = a. Er zijn drie gevallen:

  • Wanneer de linkerafgeleide bestaat, zeggen we dat de functie links afleidbaar is in x=ax = a.
  • Wanneer de rechterafgeleide bestaat, zeggen we dat de functie rechts afleidbaar is in x=ax = a.
  • Wanneer de linker- en rechterafgeleide van f(x)f(x) in x=ax = a allebei bestaan en gelijk zijn aan elkaar, zeggen we dat f(x)f(x) afleidbaar is in x=ax = a.

Linker- en rechterafgeleide in functie met gaten

Een typisch voorbeeld van een functie die niet overal afleidbaar is, is een functie waar gaten in zitten. Zo'n functie noemen we een discontinue functie. We zien in onderstaande functie dat er een gat zit tussen x=2x = 2 en x=5x = 5. Dat gat zorgt ervoor dat we in x=2x = 2 geen rechterlimiet kunnen berekenen, omdat wanneer Δx\Delta x iets groter is dan 00, dan moeten we de functiewaarde berekenen van een x-waarde die iets groter is dan 22. Maar alle x-waarden die iets groter zijn dan 22 (bv. 2,12{,}1; 2,012{,}01; 2,0012{,}001;...) liggen in die opening en hebben dus geen functiewaarden.

Discontinue functie tusse x = 2 en x = 5

De functie is dus enkel links afleidbaar en niet rechts afleidbaar in x=2x = 2. Op dezelfde manier kan je erachter komen dat diezelfde functie enkel rechts afleidbaar is in x=5x = 5 en niet links afleidbaar. In x=6x = 6 is de functie dan weer zowel rechts als links afleidbaar én zijn deze afgeleiden aan elkaar gelijk. In x=6x = 6 is de functie dus afleidbaar.

Alle punten die tussen x=2x = 2 en x=5x = 5 liggen hebben geen functiewaarde. Daarvoor kunnen we dus noch de linker- noch de rechterafgeleide berekenen. In die punten is de functie uiteraard ook niet afleidbaar.

Een functie die overal afleidbaar is, is altijd continu

Als we met gaten in een functie zitten, krijgen we dus altijd aan de grenzen van die opening een punt dat niet afleidbaar is omdat ofwel de linker- ofwel de rechterafgeleide niet bestaat. In de opening zelf is er geen enkel punt afleidbaar omdat noch de linker- noch de rechterafgeleide bestaat.

Wanneer een functie in elk punt van haar domein afleidbaar is, is het dus onmogelijk dat die functie discontinu is. We kunnen dus stellen dat een functie die overal afleidbaar is, altijd continu is (geen gaten bevat).

Functies met "knikken" zijn niet afleidbaar in de knik

Een ander typisch voorbeeld van een functie die niet overal afleidbaar is, is een functie met een "knik". Die functies zijn niet afleidbaar in de "knik" zelf. Dit kan je eenvoudig begrijpen door een raaklijn aan de linker- en rechterkant van de knik te tekenen. Je ziet dat deze raaklijnen een verschillende richtingscoëfficiënt hebben. De linker- en rechterafgeleide in het knikpunt zijn dus niet gelijk aan elkaar en daarom is de functie in dat punt niet afleidbaar.

Een functie met een knik is niet afleidbaar in het knikpunt.

Functies met verticale raaklijnen zijn niet afleidbaar bij die raaklijn

Ten slotte zorgen verticale raaklijnen ook voor niet-afleidbare punten van een functie. Dat komt omdat een verticale raaklijn een oneindig grote rico heeft. De linker- en rechterafgeleiden zijn dus gelijk aan ++\infty of -\infty en zijn daarom geen elementen van R\mathbb{R}.

Een functie met een verticale raaklijn is niet afleidbaar in de x-waarde waar de verticale raaklijn zich bevindt.

Merk op dat een verticale asymptoot ook zorgt voor een verticale raaklijn aan de grafiek van de functie. Een functie met een verticale asymptoot is dus niet afleidbaar op de x-waarde waar de asymptoot zich bevindt.

Samengevat

Afleidbaarheid van een functie

Een functie is afleidbaar in x=ax = a als en slechts als de linker- en rechterafgeleide in x=ax = a bestaan én gelijk zijn.

  • De linkerafgeleide is gedefinieerd als:
    limΔx<0f(a+Δx)f(a)Δx\lim_{\Delta x \lt{\to} 0} \frac{ f(a + \Delta x) - f(a) }{\Delta x}
  • De rechterafgeleide is gedefinieerd als:
    limΔx>0f(a+Δx)f(a)Δx \lim_{\Delta x \gt{\to} 0} \frac{ f(a + \Delta x) - f(a) }{\Delta x}

Typische niet-afleidbare punten bij functies

Volgende punten van een functie zijn nooit afleidbaar:

  • De grenspunten van een opening in de grafiek van een functie
  • De punten die in de opening van de grafiek van een functie liggen
  • Knikpunten van de functie
  • Punten waar de functie een verticale raaklijn heeft
Toon afdrukbare versie

Hoe duidelijke vond je deze les?

Hoe Zit Het? wordt met trots gesteund door

KU Leuven sponsor
VIVES sponsor

Wil jij ook steunen? Trakteer Hoe Zit Het? op een drankje! 🥤 Ga daarvoor naar de trakteer-pagina.

Vragen en reacties